[论文解读] Frankel Conjecture and Sasaki geometry

Weiyong He, Song Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用 4

一句话总结

该论文证明了，对于具有正横截双截面曲率的单连通紧致Sasaki流形（维度为$2n+1$），其Kähler锥微分同胚于$\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$，且微分同胚于标准球面$S^{2n+1}$，并配备一个简单的Sasaki度量。证明采用两步变形：首先，Sasaki-Ricci流将度量变形为具有正横截双截面曲率的Sasaki-Ricci孤立子；其次，通过改变Reeb向量场，将该孤立子变形为Sasaki-Einstein度量，即标准球面，从而在轨道流形的框架下恢复并推广了Frankel猜想。

ABSTRACT

We classify simply connected compact Sasaki manifolds of dimension $2n+1$ with positive transverse bisectional curvature. In particular, the Kähler cone corresponding to such manifolds must be bi-holomorphic to $\C^{n+1}\backslash \{0\}$. As an application we recover the Mori-Siu-Yau theorem on the Frankel conjecture and extend it to certain orbifold version. The main idea is to deform such Sasaki manifolds to the standard round sphere in two steps, both fixing the complex structure on the Kähler cone. First, we deform the metric along the Sasaki-Ricci flow and obtain a limit Sasaki-Ricci soliton with positive transverse bisectional curvature. Then by varying the Reeb vector field along the negative gradient of the volume functional, we deform the Sasaki-Ricci soliton to a Sasaki-Einstein metric with positive transverse bisectional curvature, i.e. a round sphere. The second deformation is only possible when one treats simultaneously regular and irregular Sasaki manifolds, even if the manifold one starts with is regular(quasi-regular), i.e. Kähler manifolds(orbifolds).

研究动机与目标

• 对单连通紧致Sasaki流形（维度为$2n+1$）在具有正横截双截面曲率的条件下进行分类。
• 将原始仅对Kähler流形证明的Frankel猜想推广至Sasaki几何及其轨道流形类比情形。
• 通过几何流与Sasaki结构的变形，提供Frankel猜想的统一解析证明。
• 确立此类Sasaki流形微分同胚于$S^{2n+1}$，且其Kähler锥微分同胚于$\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$。

提出的方法

• 应用Sasaki-Ricci流，将初始Sasaki度量变形为Sasaki-Ricci孤立子，同时保持Kähler锥上的复结构不变。
• 通过曲率演化上的最大值原理论证，证明Sasaki-Ricci孤立子继承正横截双截面曲率。
• 通过改变Reeb向量场实现第二步变形，以减小体积泛函，将孤立子变形为Sasaki-Einstein度量。
• 证明即使对于不规则Sasaki流形（包括正规（准正规）情形）也存在此类变形。
• 利用Cheeger-Gromov收敛性，证明具有正横截双截面曲率的Sasaki-Ricci孤立子序列的极限仍保持该性质。
• 通过统一的曲率界与自守群结构，控制Reeb向量场的变形空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过几何流与Reeb向量场的变分，将Frankel猜想推广至具有正横截双截面曲率的Sasaki流形？
• RQ2 每个具有正横截双截面曲率的Sasaki-Ricci孤立子是否都能通过Reeb向量场的变分变形为Sasaki-Einstein度量？
• RQ3 在固定Sasaki流形上，生成Sasaki-Ricci孤立子的Reeb向量场空间具有何种结构？
• RQ4 能否通过Sasaki几何框架恢复紧致Kähler轨道流形具有正双截面曲率的分类？
• RQ5 紧致Sasaki轨道流形若具有正横截双截面曲率，是否必为加权Sasaki球面的有限商？

主要发现

• 任何单连通紧致Sasaki流形若具有正横截双截面曲率，则其Kähler锥微分同胚于$\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$。
• 此类Sasaki流形微分同胚于标准球面$S^{2n+1}$，并可配备一个简单的Sasaki度量。
• Sasaki-Ricci流将初始度量变形为具有正横截双截面曲率的Sasaki-Ricci孤立子，且保持Kähler锥上的复结构。
• 通过Reeb向量场变分的第二步变形，将Sasaki-Ricci孤立子变形为Sasaki-Einstein度量，即标准球面。
• 极限度量为标准球面，证明所有此类Sasaki流形均为标准球面的形变。
• 该结果表明，具有正双截面曲率的紧致极化轨道流形必为加权复射影空间的有限商。