[论文解读] Free-by-cyclic groups have solvable conjugacy problem

Oleg Bogopolski, Armando Martino+2 more|ArXiv.org|May 10, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 32

一句话总结

本文证明了在有限生成的自由-循环群中，共轭问题可通过将其约化为自由群中的扭曲共轭问题而可解。利用计算自同构的固定子群的算法（Maslakova）以及判断循环字是否通过自同构的幂映射相关的判定结果（Brinkmann），作者构建了一个有效算法来确定共轭元素，该算法亦可扩展至幂共轭问题。

ABSTRACT

We show that the conjugacy problem is solvable in [finitely generated free]-by-cyclic groups, by using a result of O. Maslakova that one can algorithmically find generating sets for the fixed subgroups of free group automorphisms, and one of P. Brinkmann that one can determine whether two cyclic words in a free group are mapped to each other by some power of a given automorphism. The algorithm effectively computes a conjugating element, if it exists. We also solve the power conjugacy problem and give an algorithm to recognize if two given elements of a finitely generated free group are Reidemeister equivalent with respect to a given automorphism.

研究动机与目标

• 解决[有限生成自由]-循环群中的共轭问题，这类群未必是双曲群或自动群。
• 将关于特殊情形（如自同构具有有限阶或为内自同构）的已知结果推广为一个通用算法。
• 提供一个有效算法，用于在存在时计算共轭元素。
• 解决此类群中的幂共轭问题，即判断两个元素在取幂后是否共轭。
• 回答关于自由群中 Reidemeister 等价性与扭曲共轭性的开放问题。

提出的方法

• 将自由-循环群中的共轭问题约化为自由群基中的扭曲共轭问题。
• 应用 Maslakova 的算法，计算自由群自同构的固定子群的有限生成集。
• 利用 Brinkmann 的可判定性结果，确定两个循环字是否通过给定自同构的幂相关联。
• 利用自由群中根的唯一性，将幂共轭问题约化为根问题与扭曲共轭检查。
• 应用技术引理，缩小幂共轭问题中指数的搜索空间，从而限制需检查的情形数量。
• 结合上述工具，构建一个完整且有效的算法，用于求解标准共轭问题与幂共轭问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在所有[有限生成自由]-循环群中求解共轭问题，包括非双曲群与非自动群？
• RQ2 是否存在一个有效算法，用于计算此类群中两个给定群元素之间的共轭元素？
• RQ3 对于任意自同构，有限生成自由群中的扭曲共轭问题是否可算法求解？
• RQ4 这些群中的幂共轭问题是否具有决策过程，且能显式计算指数与共轭元素？
• RQ5 在自由群中，是否可以算法识别相对于给定自同构的 Reidemeister 等价性？

主要发现

• 在所有[有限生成自由]-循环群中，共轭问题均可解，即使这些群并非双曲群或自动群。
• 提供了一个有效算法，可在存在时计算两个群元素之间的共轭元素。
• 对于任意自同构，有限生成自由群中的扭曲共轭问题可解，从而回答了文献中的一个开放问题。
• 此类群中的幂共轭问题可解，且存在一个程序可确定非零指数与共轭元素。
• 该解法依赖于 Maslakova 的固定子群算法与 Brinkmann 的自同构幂可判定性结果的结合。
• 结果扩展了对拟内自同构的研究，并为所有情形提供了统一解法。