[论文解读] Free subalgebras of quotient rings of Ore extensions

Jason P. Bell, D. Rogalski|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明，对于在不可数基域上的域的Ore扩张，其商除环要么包含基域上两个生成元的自由代数，要么是局部PI（即每个有限生成子代数满足多项式恒等式）。关键结果解决了不可数域上仿射PI域的迭代Ore扩张的自由子代数猜想，表明此类商环要么是PI，要么包含两个生成元的自由子代数。

ABSTRACT

Let $K$ be a field, let $σ$ be an automorphism of $K$, and let $δ$ be a derivation of $K$. We show that if $D$ is one of $K(x;σ)$ or $K(x;δ)$, then $D$ either contains a free algebra over its center on two generators, or every finitely generated subalgebra of $D$ satisfies a polynomial identity. As a corollary, we are able to show that the quotient division ring of any iterated Ore extension of an affine domain satisfying a polynomial identity either again satisfies a polynomial identity or it contains a free algebra over its center on two variables.

研究动机与目标

• 确定一个域的Ore扩张的商除环何时在基域上包含两个生成元的自由子代数。
• 解决非交换环论中更广泛的自由子代数猜想，特别是针对由Ore扩张产生的除环。
• 将Makar-Limanov的方法扩展，以建立斜多项式环中自由子代数存在的充分条件。
• 证明不可数域上仿射PI域的迭代Ore扩张的商除环满足自由子代数猜想。

提出的方法

• 作者为形如 $K(x;\sigma)$ 或 $K(x;\delta)$ 的除环建立了两个生成元的自由子代数存在的新判别准则，其中 $K$ 是不可数基域 $k$ 的域扩张，$\sigma$ 为 $k$-自同构或 $\delta$ 为 $k$-导子。
• 他们采用Makar-Limanov的原始方法，并加以调整，以分析 $\sigma$-轨道的动力学行为以及 $\delta$-导子在域扩张上的作用。
• 证明依赖于判断 $K$ 是否包含具有无限 $\sigma$-轨道的元素，或 $\delta$ 是否在某个大子域上非平凡作用。
• 他们通过变量替换，将同时包含自同构和导子的Ore扩张的一般情形约化为纯自同构或纯导子的情形，依据一个引理表明此类环同构于 $D[x';\sigma']$ 或 $D[x';\delta']$。
• 作者将这些结果递归地应用于迭代Ore扩张，证明不可数域上仿射PI域的迭代Ore扩张的商除环要么满足多项式恒等式，要么包含两个生成元的自由子代数。
• 他们利用这样一个事实：一个除环包含两个生成元的自由子代数当且仅当它不是局部PI，并证明该条件等价于存在一个具有无限 $\sigma$-轨道的元素，或 $\delta$-作用非平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，Ore扩张的商除环 $K(x;\sigma)$ 包含两个生成元的自由 $k$-子代数？
• RQ2 什么条件下 $K(x;\delta)$ 包含两个生成元的自由子代数，这与导子 $\delta$ 的结构有何关系？
• RQ3 自由子代数猜想对不可数域上仿射PI域的迭代Ore扩张是否成立？
• RQ4 能否通过自同构或导子在基域上的动力学行为来刻画商除环中自由子代数的存在性？
• RQ5 局部PI性质与Ore扩张商环中自由子代数的存在性之间有何关系？

主要发现

• 对于不可数基域 $k$ 的域扩张 $K/k$，当且仅当 $K$ 包含一个具有无限 $\sigma$-轨道的元素时，$K(x;\sigma)$ 包含两个生成元的自由 $k$-子代数。
• 商除环 $K(x;\delta)$ 包含两个生成元的自由子代数当且仅当它不是局部PI，而这种情况恰好发生在 $\delta$ 在 $K$ 的足够大的子域上非零时。
• 若 $K$ 是不可数基域 $k$ 的域扩张，则 $K(x;\sigma)$ 不是局部PI当且仅当 $K$ 包含一个具有无限 $\sigma$-轨道的元素。
• 不可数域上仿射PI域的任意迭代Ore扩张的商除环均满足自由子代数猜想：它要么是PI，要么包含中心上两个生成元的自由子代数。
• 作者证明，任何同时包含自同构和导子的Ore扩张，通过变量替换同构于纯自同构或纯导子扩张，从而可约化为两种主要情形。
• 本文提供了一个反例，以反驳所有此类环都是局部PI的观念：对于 $K = \mathbb{F}_p(x_0,x_1,\dots)$ 且 $\delta(x_i) = x_{i+1}$，环 $K(x;\delta)$ 包含 $\mathbb{F}_p$ 上两个生成元的自由代数。