[论文解读] Frobenius distribution for pairs of elliptic curves and exceptional isogenies

François Charles|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 4

一句话总结

该论文证明了对于任意两个定义在数域上的椭圆曲线，存在无穷多个素数使得它们的约化在几何上同构，其证明基于模曲线上的Hecke对应关系的动力学性质与Arakelov几何。该结果是Hodge理论中Noether-Lefschetz稠密集定理的算术类比，对奇异素数与复乘素数的存在性具有应用价值。

ABSTRACT

Let E and E' be two elliptic curves over a number field. We prove that the reductions of E and E' at a finite place p are geometrically isogenous for infinitely many p, and draw consequences for the existence of supersingular primes. This result is an analogue for distributions of Frobenius traces of known results on the density of Noether-Lefschetz loci in Hodge theory. The proof relies on dynamical properties of the Hecke correspondences on the modular curve.

研究动机与目标

• 建立伽罗华表示权为2的Hodge理论Noether-Lefschetz稠密集定理的算术类比。
• 研究一对椭圆曲线的Frobenius迹的分布及其模素数的同构行为。
• 证明对于任意两个定义在数域上的椭圆曲线，存在无穷多个素数使得它们的约化在几何上同构，且不依赖于复乘或约化类型。
• 推导该结果对椭圆曲线约化中奇异素数与复乘素数存在的影响。

提出的方法

• 利用模曲线X(1)上Hecke对应关系的动力学性质，分析椭圆曲线j-不变量的分布。
• 应用Arakelov几何研究椭圆曲线的模空间，并控制CM点之间的距离。
• 通过双曲几何与模参数化估计CM j-不变量的分离性。
• 以Sato-Tate猜想作为启发性动机，但证明过程不依赖于该猜想。
• 在全局情形下应用Cebotarev密度定理与Faltings同构定理，将Frobenius共轭类与同构类关联起来。
• 采用Hecke轨道与CM点之间接近程度的定量估计，证明某些素数集合的密度为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在数域中是否存在无穷多个有限素位，使得两椭圆曲线的约化在几何上同构？
• RQ2 在权为2的伽罗华表示背景下，Hodge理论中Noether-Lefschetz闭包的算术类比是什么？
• RQ3 对于一对非同构的椭圆曲线，其Frobenius迹的分布是否会导致无穷多次巧合，从而在模素数下产生同构？
• RQ4 该分布对椭圆曲线约化中奇异素数与CM素数存在的影响是什么？
• RQ5 模曲线上Hecke对应关系的动力学如何控制同构相关素数的稠密度？

主要发现

• 本文证明了对于任意两个定义在数域k上的椭圆曲线E与E'，存在无穷多个有限素位𝔭，使得约化E_𝔭与E'_𝔭在几何上同构。
• 该结果不依赖于复乘或存在乘法约化素位的假设。
• 证明依赖于Hecke对应关系的动力学与Arakelov几何，特别是CM点及其在模曲线上分离性的行为。
• 证明了对于任意固定点，其在N^(-D)距离内存在Hecke轨道元素的整数N的集合，当D ≥ 4时，其密度为零。
• 该结果意味着，对任意定义在数域上的椭圆曲线，以下至少一项成立：存在无穷多个奇异素数，或存在无穷多个素数使得约化在某个固定的虚二次域上具有复乘。
• 关键技术进展为一个定量估计：若具有有界度同构的CM j-不变量，除非它们同构，否则不能过于接近，其下界与(M₁M₂)^(-1/2)(√M₁ + √M₂)^(-1)成正比。