[论文解读] From clocks to cloners: Catalytic transformations under covariant operations and recoverability

Iman Marvian, Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Asymmetric Hydrogenation and Catalysis被引用 13

一句话总结

本文证明了相对熵不对称性决定了在协变操作下催化态变换的可实现保真度——协变操作是保持特定对称性的对称量子操作。通过利用Fawzi与Renner的可恢复性框架，本文表明当不对称性仅略有增加时，即可实现高保真度变换，且Petz可恢复映射可实现最优克隆保真度，从而将量子钟、量子克隆等不同场景统一于单一信息理论原理之下。

ABSTRACT

There are various physical scenarios in which one can only implement operations with a certain symmetry. Under such restriction, a system in a symmetry-breaking state can be used as a catalyst, e.g. to prepare another system in a desired symmetry-breaking state. This sort of (approximate) catalytic state transformations are relevant in the context of (i) state preparation using a bounded-size quantum clock or reference frame, where the clock or reference frame acts as a catalyst, (ii) quantum thermodynamics, where again a clock can be used as a catalyst to prepare states which contain coherence with respect to the system Hamiltonian, and (iii) cloning of unknown quantum states, where the given copies of state can be interpreted as a catalyst for preparing the new copies. Using a recent result of Fawzi and Renner on approximate recoverability, we show that the achievable accuracy in this kind of catalytic transformations can be determined by a single function, namely the relative entropy of asymmetry, which is equal to the difference between the entropy of state and its symmetrized version: if the desired state transition does not require a large increase of this quantity, then it can be implemented with high fidelity using only symmetric operations. Our lower bound on the achievable fidelity is tight in the case of cloners, and can be achieved using the Petz recovery map, which interestingly turns out to be the optimal cloning map found by Werner.

研究动机与目标

• 将量子钟、热力学与量子克隆等不同物理场景统一于催化变换下协变操作的共同框架中。
• 识别出一个单一的信息理论度量，以确定此类变换的可实现保真度。
• 证明相对熵不对称性量化了在对称操作下生成不对称态的资源代价。
• 表明Petz可恢复映射在量子克隆中可实现最优保真度，与Werner已知的最优克隆器一致。

提出的方法

• 将催化变换形式化为作用于系统与催化剂的协变量子通道，其中催化剂保持近似不变。
• 应用Fawzi与Renner的近似可恢复性定理，以相对熵不对称性为依据，对态变换的保真度进行上界估计。
• 将相对熵不对称性定义为某一状态的冯诺依曼熵与其对称化版本之间的差值。
• 将Petz可恢复映射作为实现保真度下限的候选通道，证明其与已知最优克隆映射一致。
• 将结果推广，表明若协变通道下不对称性未显著减少，则可使用另一协变通道近似逆向该过程。
• 基于相对熵不对称性的增加，推导出任意催化变换的保真度下限。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个单一的不对称性度量，可决定在协变操作下催化态变换的可实现保真度？
• RQ2 相对熵不对称性与使用对称操作从对称态生成不对称态的资源代价之间有何关系？
• RQ3 在协变操作的背景下，Petz可恢复映射能否被解释为最优克隆映射？
• RQ4 在何种条件下，仅使用对称操作即可近似逆向对称量子过程？
• RQ5 Fawzi与Renner的可恢复性框架在对称性约束的量子变换中适用程度如何？

主要发现

• 在协变操作下催化变换的可实现保真度下限为 $ \sqrt{ \frac{d_+(n)}{d_+(n+k)} } $，其中 $ d_+(r) = \binom{r+d-1}{d-1} $ 为 $ r $ 个量子位的对称子空间的维数。
• 该下限与Werner（1998年）推导出的最优克隆保真度一致，表明Petz可恢复映射实现了最优克隆器。
• 当在克隆场景中应用Petz可恢复映射时，其恰好为最优克隆映射，通过对称性约束确认了其最优性。
• 若协变通道下相对熵不对称性减少 $ \Delta\Gamma $，则该过程可近似逆向，保真度至少为 $ 2^{-\Delta\Gamma/2} $。
• 该结果可推广为：任何不对称性损失较小的对称过程，均可仅通过协变操作实现近似逆向。
• 相对熵不对称性作为催化变换在协变操作下的完整且紧致的度量，统一了看似不同的物理场景，如基于时钟的态制备与量子克隆。