[论文解读] From limits of quantum nonlinear operations to multicopy entanglement witnesses and state spectrum estimation

Paweł Horodecki|ArXiv.org|Nov 6, 2001

Statistical Mechanics and Entropy被引用 7

一句话总结

本文证明了将n份未知量子态ϱ的副本转换为其第n次幂ϱⁿ在量子力学的线性原理下是根本不可能的。然而，它表明通过在两份副本上进行联合测量，利用“多副本可观测量”可以测量非线性函数，如Tr(ϱ²)和更高阶的Tsallis熵，从而实现资源消耗极少的纠缠检测与谱估计。

ABSTRACT

Limits of nonlinear in quantum mechanics are studied. Impossibility of physical implementation of the transformation $\varrho^{\otimes n} o \varrho^{n}$ in quantum mechanics is proved. For sake of further analysis the simplest notion of structural completely positive approximation (SCPA) and structural physical approximations (SPA) of unphysical map are introduced. Both always exist for linear hermitian maps and can be optimised under natural assumptions. However it is shown that some intuitively natural SPA of the nonlinear operation $\varrho^{\otimes 2} o \varrho^{2}$ that was already proven to be unphysical is impossible. It is conjectured that there exist no SPA of the operation $\varrho^{\otimes n} o \varrho^{n}$ at all. It is pointed out that, on the other hand, it is physically possible to measure the trace of the second power of the state $Tr(\varrho^{2})$ if only two copies of the system are available. This gives the interpretation of one of Tsallis entropy as mean value of some ``multicopy'' observable. The (partial) generalisation of this idea shows that each of higher order Tsallis entropies can be measured with help of only two multicopy observables. Following this observations the notion of multicopy entanglement witnesses is defined and first example is provided. Finally, with help of multicopy observables simple method of spectrum state estimation is pointed out and discussed.

研究动机与目标

• 研究非线性量子操作的根本限制，特别是将n份量子态的副本转换为其第n次幂的限制。
• 探讨物理近似方法——特别是结构化物理近似（SPA）——是否能实现此类非物理映射。
• 开发利用多个副本上的联合测量来测量量子态非线性函数（如Tr(ϱⁿ)和Tsallis熵）的实用方法。
• 提出并展示“多副本可观测量”在纠缠检测与量子态谱估计中的实用性。
• 提供一种基于少量副本的可分离性条件测试框架，该框架基于熵不等式。

提出的方法

• 引入结构化完全正定近似（SCPA）和结构化物理近似（SPA），作为非物理映射的物理可实现近似，保持广义Bloch向量的方向不变。
• 证明SCPA和SPA在满足收缩因子γ连续性假设下，对线性厄米特映射始终存在，并可进行优化。
• 证明非线性映射ϱ⊗² → ϱ²的迹保持SPA不存在，由此提出猜想：对于ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ，一般情况下也不存在此类SPA。
• 提出“多副本可观测量”——作用于系统多个副本的厄米特算符——其期望值可给出状态的可测量非线性函数，如Tr(ϱ²)。
• 利用广义交换算符实现联合测量，从两份副本中提取Tr(ϱ²)，从而实现Tsallis熵S₂的物理测量。
• 将多副本可观测量框架应用于仅通过2dim(H)−3个参数的集体测量，即可估计未知量子态的谱，与完整层析相比显著降低了资源消耗。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于未知态ϱ，能否使用n份副本物理实现非线性量子操作ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ？
• RQ2 是否存在迹保持的结构化物理近似（SPA）来实现映射ϱ⊗² → ϱ²？若不存在，原因是什么？
• RQ3 能否通过有限数量副本的联合测量，测量量子态的非线性函数（如Tr(ϱⁿ)）？
• RQ4 多副本可观测量能否用于通过熵判据检测纠缠？若能，需要多少份副本？
• RQ5 能否通过少量副本的集体测量估计未知量子态的谱？与完整量子态层析相比有何优势？

主要发现

• 由于量子力学的线性原理，对未知态ϱ，ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ的变换在根本上是不可能的，即使近似实现也不行。
• 最自然的迹保持SPA对映射ϱ⊗² → ϱ²不存在，且推测对于任意n ≥ 2，此类SPA在一般情况下均不存在。
• 通过广义交换算符在两份副本上进行联合测量，可实现Tr(ϱ²)的测量。
• Tsallis熵S₂可被物理解释为两份副本可观测量的期望值，从而获得直接的操作意义。
• 对于q > 2的高阶Tsallis熵S_q，仅需两个多副本可观测量即可估计，从而实现对熵可分离性判据的高效测试。
• 提出一种仅需对最多dim(H)份副本进行集体测量，通过2dim(H)−3个参数即可估计未知态谱的方法，与完整层析相比显著降低了资源消耗。