[论文解读] From Small Space to Small Width in Resolution

Yuval Filmus, Massimo Lauria+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新的、基础的句法证明，表明解析的空间复杂度上界由宽度决定，通过子句合取、否定和CNF重展开的构造性方法，将小空间归结转化为小宽度归结。该方法提出了一种新颖的‘黑箱’技术，利用静态进展度量证明空间下界，与以往的自适应方法形成对比，并揭示了该方法在扩展至多项式计算时的根本局限性。

ABSTRACT

In 2003, Atserias and Dalmau resolved a major open question about the resolution proof system by establishing that the space complexity of CNF formulas is always an upper bound on the width needed to refute them. Their proof is beautiful but somewhat mysterious in that it relies heavily on tools from finite model theory. We give an alternative, completely elementary proof that works by simple syntactic manipulations of resolution refutations. As a by-product, we develop a "black-box" technique for proving space lower bounds via a "static" complexity measure that works against any resolution refutation---previous techniques have been inherently adaptive. We conclude by showing that the related question for polynomial calculus (i.e., whether space is an upper bound on degree) seems unlikely to be resolvable by similar methods.

研究动机与目标

• 提供一个纯粹组合的、句法的解析空间-宽度不等式的证明，避免依赖有限模型论。
• 开发一种新的、非自适应的‘黑箱’方法，利用静态复杂度度量证明空间下界。
• 探究类似技术是否能解决多项式计算中空间上界是否对应于度数的开放问题。
• 澄清在常数空间公式背景下，空间、宽度与证明长度之间的关系。
• 探讨该方法在应用于更强的证明系统（如多项式计算）时的局限性。

提出的方法

• 通过取小空间解析证明中每一步内存中所有子句的合取，构造一个新的归结。
• 对每个这样的合取式取反，并将其展开为合取范式（CNF），生成一组新的子句。
• 将这些新生成的子句按相反顺序排列，形成候选的小宽度归结。
• 利用句法操作和逻辑等价性，证明该反向序列构成原公式的有效解析归结。
• 基于已处理的内存中子句数量，定义一个静态的‘进展度量’，类似于Ben-Sasson和Wigderson的方法。
• 利用该度量论证：任何实现显著进展的归结必须使用高空间，从而实现非自适应的空间下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 解析中的空间-宽度不等式能否仅通过解析归结的句法操作来证明，而无需使用模型论工具？
• RQ2 该新方法能否以非自适应的‘黑箱’方式用于证明空间下界，且独立于归结的内部结构？
• RQ3 是否可以将相同的句法变换技术扩展至多项式计算，其中空间对应于单项式的数量，度数对应于最高次多项式的次数？
• RQ4 具有常数空间复杂度的公式是否必然存在长度短且空间高效的归结，还是必须进行穷举搜索？
• RQ5 阻碍该解析方法推广至多项式计算的根本障碍是什么，特别是关于度数和空间方面？

主要发现

• 建立了一种新的、基础的证明，表明解析中的空间复杂度由宽度上界控制，仅通过归结的句法变换实现。
• 该证明通过取反内存合取式并按相反顺序重展开，从任一小型空间归结构造出小宽度归结。
• 该方法引入了一个静态进展度量，使非自适应空间下界成为可能，相比以往的自适应技术有显著改进。
• 该方法在多项式计算中被证明无效，因为对于某些公式（如Tseitin公式）在两个方向上都不存在所需的低次多项式归结。
• 本文证明，即使在常数空间下，最短的解析归结仍可能需要指数长度，与穷举搜索的上界在指数常数范围内一致。
• 近期结果 [ALN14] 确认存在可在空间和宽度 s 内归结的公式，其最短归结长度为 n^Ω(s)，表明最坏情况下的膨胀是固有的。