[论文解读] From unbalanced optimal transport to the Camassa-Holm equation

Thomas Gallouët, François‐Xavier Vialard|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文通过在紧致流形的微分同胚群上引入一个右不变的 Hdiv 度量，建立了非平衡最优传输与 Camassa-Holm（CH）方程之间的几何联系，表明 CH 方程的解在此框架下表现为测地线。本文证明了半密度的极分解定理，并将微分同胚群等距嵌入到带有锥度量的纤维丛的自同构群中，从而为广义 CH 方程提供了新的测地线表述。

ABSTRACT

The group of diffeomorphisms of a compact manifold endowed with the L^2 metric acting on the space of probability densities gives a unifying framework for the incompressible Euler equation and the theory of optimal mass transport. Recently, several authors have extended optimal transport to the space of positive Radon measures where the Wasserstein-Fisher-Rao distance is a natural extension of the classical L^2-Wasserstein distance. In this paper, we show a similar relation between this unbalanced optimal transport problem and the Hdiv right-invariant metric on the group of diffeomorphisms, which corresponds to the Camassa-Holm (CH) equation in one dimension. On the optimal transport side, we prove a polar factorization theorem on the automorphism group of half-densities. Geometrically, our point of view provides an isometric embedding of the group of diffeomorphisms endowed with this right-invariant metric in the automorphisms group of the fiber bundle of half densities endowed with an L^2 type of cone metric. This leads to a new formulation of the (generalized) CH equation as a geodesic equation on an isotropy subgroup of this automorphisms group; On S1, solutions to the standard CH thus give particular solutions of the incompressible Euler equation on a group of homeomorphisms of R^2 which preserve a radial density that has a singularity at 0. An other application consists in proving that smooth solutions of the Euler-Arnold equation for the Hdiv right-invariant metric are length minimizing geodesics for sufficiently short times.

研究动机与目标

• 将最优传输理论从概率测度推广到正 Radon 测度，使用 Wasserstein-Fisher-Rao 距离。
• 通过微分同胚群上的右不变 Hdiv 度量，建立非平衡最优传输与 Camassa-Holm 方程之间的几何对应关系。
• 将广义 CH 方程重新表述为半密度自同构群的一个稳定子子群上的测地线方程。
• 证明 Hdiv 度量的 Euler-Arnold 方程的光滑解在短时间内为长度最小化的测地线。

提出的方法

• 在紧致流形的微分同胚群上引入一个右不变的 Hdiv 度量。
• 在半密度纤维丛上定义一个锥度量，以实现 Hdiv 度量的 L^2 型几何结构。
• 证明半密度自同构的极分解定理，推广经典 Kantorovich 最优传输结果。
• 构建微分同胚群到半密度丛自同构群的等距嵌入。
• 将广义 Camassa-Holm 方程导出为自同构群的一个稳定子子群上的测地线方程。
• 证明 S1 上标准 CH 方程的解对应于在原点具有奇点的径向密度空间上的不可压缩 Euler 方程的特定解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过微分同胚群上的右不变度量，将非平衡最优传输与 Camassa-Holm 方程进行几何关联？
• RQ2 半密度在将最优传输推广到正 Radon 测度中起到什么作用？
• RQ3 能否将 Camassa-Holm 方程作为纤维丛自同构群中更大群上的测地线方程导出？
• RQ4 微分同胚群上的 Hdiv 度量如何与非平衡传输中的 Wasserstein-Fisher-Rao 距离相关联？
• RQ5 Hdiv 度量的 Euler-Arnold 方程的光滑解是否在足够短的时间内为长度最小化的测地线？

主要发现

• 为半密度自同构群建立了极分解定理，将经典最优传输结果推广到非平衡情形。
• 赋予 L^2 型锥度量的半密度丛自同构群中，配备 Hdiv 右不变度量的微分同胚群 admits 等距嵌入。
• 广义 Camassa-Holm 方程被表述为半密度自同构群的一个稳定子子群上的测地线方程。
• 在圆周 S1 上，标准 Camassa-Holm 方程的解产生不可压缩 Euler 方程在保持奇异径向密度的同胚群上的特定解。
• 证明了 Hdiv 度量的 Euler-Arnold 方程的光滑解在足够短的时间内为长度最小化的测地线。