[论文解读] From van der Corput to modern constructions of sequences for quasi-Monte Carlo rules

Henri Faure, Peter Kritzer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 147被引用 44

一句话总结

本文综述了从 van der Corput 1935 年的开创性序列到现代准蒙特 Carlo（QMC）构造的发展历程，重点讨论了数字 $(t,s)$-序列及其推广。文章建立了高阶序列在 $L_p$-不均匀度上的最优界，其阶为 $(\log N)^{s/2}/N$，证明了其在光滑函数数值积分中的优越性。

ABSTRACT

In 1935 J.G. van der Corput introduced a sequence which has excellent uniform distribution properties modulo 1. This sequence is based on a very simple digital construction scheme with respect to the binary digit expansion. Nowadays the van der Corput sequence, as it was named later, is the prototype of many uniformly distributed sequences, also in the multi-dimensional case. Such sequences are required as sample nodes in quasi-Monte Carlo algorithms, which are deterministic variants of Monte Carlo rules for numerical integration. Since its introduction many people have studied the van der Corput sequence and generalizations thereof. This led to a huge number of results. On the occasion of the 125th birthday of J.G. van der Corput we survey many interesting results on van der Corput sequences and their generalizations. In this way we move from van der Corput's ideas to the most modern constructions of sequences for quasi-Monte Carlo rules, such as, e.g., generalized Halton sequences or Niederreiter's $(t,s)$-sequences.

研究动机与目标

• 追溯 van der Corput 的二进制序列到现代 QMC 序列的数学传承。
• 分析广义 van der Corput 序列及相关序列的均匀分布性质与不均匀度界。
• 为数字 $(t,s)$-序列，特别是高阶序列，建立最优的 $L_p$-不均匀度界。
• 通过 Koksma-Hlawka 不等式，将理论不均匀度结果与准蒙特 Carlo 数值积分误差联系起来。
• 为现代 QMC 应用提供 $(t,s)$-序列、Halton 序列、Hammersley 序列和 Niederreiter 序列等关键构造的全面概述。

提出的方法

• 通过在基 $b$ 下的数位反转分析 van der Corput 序列，利用二进制展开在 $[0,1)$ 内生成均匀分布的点。
• 应用不均匀度理论框架，包括星不均匀度 $D_N^*$ 和 $L_p$-不均匀度 $L_{p,N}$，以评估分布均匀性。
• 利用 von Neumann-Kakutani 变换和有界余项集研究序列的分布性质。
• 采用初等下降法推导广义 van der Corput 序列的不均匀度界。
• 应用 Atanassov 方法及其改进，推导 $(t,s)$-序列的非渐近不均匀度界。
• 通过数字网和交织技术构造高阶序列，以实现最优的 $L_p$-不均匀度速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 原始 van der Corput 序列的分布性质如何推广到高维空间和其它基？
• RQ2 现代 $(t,s)$-序列的最优不均匀度界是什么，特别是在 $L_p$ 意义下？
• RQ3 高阶序列能否在高维空间中达到 $L_p$-不均匀度的理论下界？
• RQ4 广义 Niederreiter 序列与 Halton 序列在不均匀度和积分性能方面如何比较？
• RQ5 在准蒙特 Carlo 方法中，$t$-值和数位扰乱在最小化积分误差方面起什么作用？

主要发现

• 数字 $(t,s)$-序列的 $L_p$-不均匀度可被界为 $O_{s,p}((\log N)^{s/2}/N)$，与已知下界仅差一个常数因子。
• 定理 56 表明，基于 $\mathbb{F}_2$ 构造的高阶序列对所有 $p \in [1,\infty)$ 实现了最优的 $L_p$-不均匀度。
• 在定理 53–55 中推导出改进的非渐近不均匀度界，明确体现了对 $N$、$b$ 和 $t$ 的依赖关系。
• 广义 Niederreiter 序列被证明是 $(0,\mathbf{e},s)$-序列，可通过多项式次数 $e_j$ 实现更紧的不均匀度估计。
• 定理 55 中广义 Niederreiter 序列的界包含涉及 $\frac{b^{e_j}-1}{2e_j}$ 的项，反映了多项式不可约性与次数的影响。
• 数值实验表明，在有限样本情形下，定理 53 和 54 的界优于定理 52，尤其在中等 $N$ 时表现更优。