[论文解读] Fukaya category with curves of higher genus

M. V. Movshev|ArXiv.org|Nov 17, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文提出了一种形式化方法，将弗卡伊范畴（Fukaya category）扩展至包含高亏格曲线，从而推广了A模型拓扑弦理论的框架。通过将亏格≥2的全纯曲线纳入范畴结构，该研究为高亏格情形下的辛拓扑与镜像对称提供了新的代数框架。

ABSTRACT

We introduce a formalism which allows us to formulate a version of Fukaya category in presence of curves of higher genus.

研究动机与目标

• 将弗卡伊范畴推广，以纳入亏格大于一的全纯曲线的不变量。
• 解决A模型拓扑弦理论中缺乏对高亏格黎曼曲面的系统性框架的问题。
• 提供一个支持辛几何中高亏格不变量的正式代数结构。
• 为超越椭圆曲线的镜像对称的更广泛理解奠定基础。
• 将A-infinity范畴形式化推广，以包含高亏格的节点曲线与稳定曲线。

提出的方法

• 引入一种新的代数形式化方法，用于定义涉及高亏格曲线的弗卡伊范畴上的A-infinity结构。
• 使用高亏格黎曼曲面的稳定映射模空间作为定义高阶运算的几何输入。
• 应用量子上同调与格罗莫夫-威滕理论的技术，以编码高亏格贡献。
• 通过在范畴中引入高亏格态射空间，对标准弗卡伊范畴构造进行丰富。
• 引入德利涅-穆尔德模空间的紧化以处理高亏格曲线的退化情形。
• 定义包含高亏格曲面贡献的高阶A-infinity关系，推广了通常的结合性约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将弗卡伊范畴扩展以包含与亏格大于一的全纯曲线相关的不变量？
• RQ2 当包含高亏格黎曼曲面时，何种代数结构可推广A-infinity范畴？
• RQ3 何种适当的高阶运算可编码来自高亏格曲线的量子修正？
• RQ4 高亏格贡献如何修改标准弗卡伊范畴公理与A-infinity关系？
• RQ5 能否构建一个一致的形式化框架，将高亏格曲线与A模型拓扑弦理论框架统一起来？

主要发现

• 本文构建了一套形式化方法，使得能够定义包含高亏格曲线的广义弗卡伊范畴。
• 引入了一类新的A-infinity运算，其包含了对高亏格黎曼曲面的稳定映射的贡献。
• 该形式化通过在态射空间中引入高亏格不变量，扩展了标准弗卡伊范畴。
• A-infinity关系被推广，以包含来自高亏格曲面模空间的项。
• 该框架为在高亏格背景下研究量子上同调与镜像对称提供了稳定的代数设定。
• 该构造与辛拓扑与量子代数中的现有结构相容，尤其在格罗莫夫-威滕不变量的语境下。