[论文解读] Fully leafed induced subtrees

Alexandre Blondin Massé, Julien de Carufel+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文提出了完全叶状诱导子树（FLIS）问题，旨在寻找给定图中诱导子树的最大叶数。证明了该问题的判定版本（LIS）为NP完全问题，并为一般图设计了一种分支限界算法，同时为树图提供了O(n³Δ)时间复杂度的动态规划解法，显著优于暴力搜索方法。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph on $n$ vertices. We consider the problem LIS of deciding whether there exists an induced subtree with exactly $i \leq n$ vertices and $\ell$ leaves in $G$. We study the associated optimization problem, that consists in computing the maximal number of leaves, denoted by $L_G(i)$, realized by an induced subtree with $i$ vertices, for $0 \le i \le n$. We begin by proving that the LIS problem is NP-complete in general and then we compute the values of the map $L_G$ for some classical families of graphs and in particular for the $d$-dimensional hypercubic graphs $Q_d$, for $2 \leq d \leq 6$. We also describe a nontrivial branch and bound algorithm that computes the function $L_G$ for any simple graph $G$. In the special case where $G$ is a tree of maximum degree $\Delta$, we provide a $\mathcal{O}(n^3\Delta)$ time and $\mathcal{O}(n^2)$ space algorithm to compute the function $L_G$.

研究动机与目标

• 形式化并分析图中寻找具有最大叶数的诱导子树的问题。
• 证明LIS判定问题为NP完全问题，确立其理论难解性。
• 为任意简单图中计算叶函数LG(i)开发一种通用的分支限界算法。
• 为树图设计一种多项式时间复杂度的动态规划算法，实现O(n³Δ)时间复杂度和O(n²)空间复杂度。
• 计算经典图族中的LG(i)，包括2 ≤ d ≤ 6的超立方体Qd和格图。

提出的方法

• 通过从已知的NP完全问题归约，证明LIS判定问题的NP完全性。
• 提出一种非平凡的分支限界算法，通过剪枝无法导向完全叶状解的子树来缩减搜索空间。
• 针对树图，采用以每条边为根的动态规划方法，递归计算子树上的叶函数。
• 通过边删除诱导的有根森林，采用递归合并策略，利用类似卷积的运算计算最优叶数。
• 利用树的结构特性和顶点度Δ来界定时间复杂度，通过存储中间结果避免重复计算。
• 实现函数L{u,v}(i)，用于计算包含边{u,v}且大小为i的子树中的最大叶数，结合两个有根子树的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般图，叶状诱导子树（LIS）判定问题是否为NP完全问题？
• RQ2 是否存在一种高效算法，可为任意图计算大小为i的诱导子树中的最大叶数LG(i)？
• RQ3 对于树图，计算LG(i)的时间复杂度是多少？是否可超越暴力枚举方法进行优化？
• RQ4 在超立方体和格图等经典图族中，LG(i)的行为特征如何？
• RQ5 能否利用高度对称图的对称性或自同构性质来加速LG(i)的计算？

主要发现

• 证明LIS判定问题为NP完全问题，即使在正则图中也成立，确立了该问题的理论不可解性。
• 开发了一种通用的分支限界算法，通过剪枝非有希望的子树，高效计算任意简单图中的LG(i)。
• 对于最大度Δ的树图，本文提出一种O(n³Δ)时间复杂度和O(n²)空间复杂度的动态规划算法，可计算所有i对应的LG(i)。
• 该算法通过递归计算有根子树上的叶函数，并基于边分解合并结果，实现该复杂度。
• 计算了2 ≤ d ≤ 6的d维超立方体Qd的函数LG(i)，为这些图族提供了具体数值。
• 研究发现，由于顶点关联的不同边之间森林合并操作的结构性限制，导致时间复杂度中不可避免地出现Δ因子。