[论文解读] Functional units for natural numbers

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2009

semigroups and automata theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文引入了功能单元（functional unit）的概念，作为一种具体且具有状态的计算抽象，超越了线性代数中抽象服务的概念。它证明了自然数上存在一个通用可计算功能单元，表明所有ℕ上的可计算函数都可在该单元内被模拟，其意义在于可通过指令序列对图灵机和程序语义进行建模。

ABSTRACT

Interaction with services provided by an execution environment forms part of the behaviours exhibited by instruction sequences under execution. Mechanisms related to the kind of interaction in question have been proposed in the setting of thread algebra. Like thread, service is an abstract behavioural concept. The concept of a functional unit is similar to the concept of a service, but more concrete. A state space is inherent in the concept of a functional unit, whereas it is not inherent in the concept of a service. In this paper, we establish the existence of a universal computable functional unit for natural numbers and related results.

研究动机与目标

• 通过引入更具体、具有状态的计算模型，解决线性代数中抽象服务模型的局限性。
• 定义并形式化具有内在状态空间的功能单元概念，以自然数作为最简单的有意义案例。
• 证明自然数上存在一个通用可计算功能单元，能够模拟ℕ上任意可计算函数。
• 为通过功能单元和指令序列建模图灵机及其他计算系统奠定基础。

提出的方法

• 本文使用基于程序代数的程序记号PGLBbt，表达具有布尔终止条件和条件跳转的指令序列。
• 通过扩展基本线性代数，引入操作符以建模指令序列与服务之间的交互，构成功能单元行为的基础。
• 功能单元被定义为具有状态空间（此处为ℕ）、一组方法操作以及一种处理指令的机制，该机制可修改状态并返回布尔值。
• 通过编码计数机并证明任何ℕ上的可计算函数都可在其中被模拟，构建了一个通用功能单元。
• 采用反证法证明：仅含一个方法操作的功能单元无法模拟计数机，从而确立所需方法操作的下限。
• 该方法可推广至有限状态空间，分析功能单元的度数与结构复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为自然数构造一个通用可计算功能单元？
• RQ2 模拟ℕ上计数机所需的功能单元的最少方法操作数是多少？
• RQ3 功能单元概念相较于线性代数中的抽象服务模型有何改进？
• RQ4 能否使用功能单元来建模图灵机的磁带和控制部分？
• RQ5 有限状态空间上功能单元的结构复杂度如何？

主要发现

• 自然数上存在一个通用可计算功能单元，意味着所有ℕ上的可计算函数都可在该单元内被模拟。
• 任何仅含一个方法操作的可计算功能单元都无法模拟ℕ上的计数机，因为这将导致可达状态的矛盾。
• 模拟ℕ上计数机所需的方法操作数至少为两个，尽管尚不确定两个是否足够。
• 有限状态空间的功能单元可按同构关系枚举，布尔状态空间有12种不同的功能单元度数。
• 在k状态空间上可能的功能单元数量为2^(2^k * k^k)，即使对较小的k值，手动枚举也变得不可行。
• 功能单元使得可计算性研究可基于程序语义而非机器模型进行，从而实现计算的以程序为中心的视角。