[论文解读] Functions of noncommuting self-adjoint operators under perturbation and estimates of triple operator integrals

А. Б. Александров, Fëdor Nazarov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过三重算子积分和一种新颖的 Haagerup 类型张量积框架，建立了在 Schatten–von Neumann 范数 $\mathbf{S}_p$（$1 \leq p \leq 2$）下，非交换自伴算子与酉算子函数的 Lipschitz 型估计。研究证明，属于 Besov 空间 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ 的函数可产生此类估计，但在算子范数或 $p > 2$ 时则不能，从而确定了该条件的最优性。

ABSTRACT

We define functions of noncommuting self-adjoint operators with the help of double operator integrals. We are studying the problem to find conditions on a function $f$ on ${\Bbb R}^2$, for which the map $(A,B)\mapsto f(A,B)$ is Lipschitz in the operator norm and in Schatten--von Neumann norms $\boldsymbol{S}_p$. It turns out that for functions $f$ in the Besov class $B_{\infty,1}^1({\Bbb R}^2)$, the above map is Lipschitz in the $\boldsymbol{S}_p$ norm for $p\in[1,2]$. However, it is not Lipschitz in the operator norm, nor in the $\boldsymbol{S}_p$ norm for $p>2$. The main tool is triple operator integrals. To obtain the results, we introduce new Haagerup-like tensor products of $L^\infty$ spaces and obtain Schatten--von Neumann norm estimates of triple operator integrals. We also obtain similar results for functions of noncommuting unitary operators.

研究动机与目标

• 确定 $\mathbb{R}^2$ 上函数 $f$ 的条件，使得映射 $(A,B) \mapsto f(A,B)$ 在算子范数和 Schatten–von Neumann 范数 $\mathbf{S}_p$ 下为 Lipschitz 连续。
• 分析非交换自伴算子与酉算子函数在扰动下的行为。
• 在 $1 \leq p \leq 2$ 范围内，以 $\|A - A'\|_{\mathbf{S}_p}$ 和 $\|B - B'\|_{\mathbf{S}_p}$ 表示 $f(A,B) - f(A',B')$ 的 Schatten–von Neumann 范数，建立紧致界。
• 引入并利用 $L^\infty$ 空间的 Haagerup 类型张量积，以估计三重算子积分。

提出的方法

• 通过非交换自伴算子的谱测度，利用双算子积分定义 $f(A,B)$。
• 对差值 $f(A,B) - f(A',B')$ 使用三重算子积分表示，涉及差分商 $\mathfrak{D}^{[1]}f$ 和 $\mathfrak{D}^{[2]}f$。
• 引入 Haagerup 类型张量积 $L^\infty \otimes_h L^\infty \otimes^h L^\infty$，以控制三重算子积分的 Schatten–von Neumann 范数。
• 利用三角多项式逼近和函数 $\Xi_n(z) = \frac{1}{2n+1}\sum_{k=-n}^n z^k$ 估计差商的算子范数。
• 证明对于 $f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$，有 $\|\mathfrak{D}^{[1]}f\|_{L^\infty \otimes_h L^\infty \otimes^h L^\infty} \leq \text{const} \cdot \|f\|_{B_{\infty,1}^1}$。
• 通过在环面 $\mathbb{T}^2$ 上的类似公式与范数估计，将结果推广至酉算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathbb{R}^2$ 上的哪些函数 $f$，映射 $(A,B) \mapsto f(A,B)$ 在 $\mathbf{S}_p$ 范数下（$1 \leq p \leq 2$）为 Lipschitz 连续？
• RQ2 是否可对属于 Besov 空间 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ 的函数建立 $\mathbf{S}_p$ 中的 Lipschitz 性质，且该条件是否最优？
• RQ3 为何即使 $f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$，Lipschitz 估计在算子范数或 $\mathbf{S}_p$（$p > 2$）下仍会失效？
• RQ4 如何利用新颖的张量积结构来估计 Schatten–von Neumann 范数下的三重算子积分？
• RQ5 在非交换算子的扰动理论中，差分商 $\mathfrak{D}^{[1]}f$ 和 $\mathfrak{D}^{[2]}f$ 的作用是什么？

主要发现

• 属于 Besov 空间 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ 的函数 $f$ 可在 $\mathbf{S}_p$ 范数下（$1 \leq p \leq 2$）产生 Lipschitz 估计，且满足界 $\|f(A,B) - f(A',B')\|_{\mathbf{S}_p} \leq \text{const} \cdot \|f\|_{B_{\infty,1}^1} \cdot \max\{\|A - A'\|_{\mathbf{S}_p}, \|B - B'\|_{\mathbf{S}_p}\}$。
• 即使 $f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$，Lipschitz 性质在算子范数或 $\mathbf{S}_p$（$p > 2$）下也不成立，反例已证明此点。
• $\mathfrak{D}^{[1]}f$ 和 $\mathfrak{D}^{[2]}f$ 分别属于 Haagerup 类型张量积 $L^\infty \otimes_h L^\infty \otimes^h L^\infty$ 和 $L^\infty \otimes^h L^\infty \otimes_h L^\infty$，其范数受 $\|f\|_{B_{\infty,1}^1}$ 控制。
• 对于酉算子，当 $f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{T}^2)$ 时，$\mathbf{S}_p$ 中的 Lipschitz 估计同样成立，且对 $f$ 的 $B_{\infty,1}^1$-范数具有相同的依赖关系。
• 证明依赖于利用三角多项式和核 $\Xi_n$ 对差分商进行分解，从而在差商的矩阵范数上获得一致的 $L^2$-型界。
• 结果是最优的：不存在比 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ 更大的函数空间，可保证在 $1 \leq p \leq 2$ 下的 Lipschitz 估计。