[论文解读] Functions which are PN on infiitely many extensions of Fp, p odd

Elodie Leducq|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

该论文证明了对于奇素数 $p$，在 $\mathbb{F}_p$ 的无穷多个扩张上，唯一满足完美非线性（PN）的幂映射 $x \mapsto x^m$ 是那些满足 $m = 1 + p^l$ 的映射，其中 $l$ 为正整数。通过使用贝祖等定理和多项式 $h(x,y) = \frac{(x+1)^m - x^m - (y+1)^m + y^m}{x-y}$ 的奇点分析，作者表明，任何其他满足 $m \equiv 1 \mod p$ 的 $m$ 值都会导致一个绝对不可约因子，从而在大扩张下破坏 PN 性质。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime number. We prove that for $m\equiv1\mod p$, $x^m$ is perfectly nonlinear over $\mathbb{F}_{p^n}$ for infinitely many $n$ if and only if $m$ is of the form $p^l+1$, $l\in\mathbb{N}$. First, we study singularities of $f(x,y)=\frac{(x+1)^m-x^m-(y+1)^m+y^m}{x-y}$ and we use Bezout theorem to show that for $m eq 1+p^l$, $f(x,y)$ has an absolutely irreducible factor. Then by Weil theorem, f(x,y) has rationnal points such that $x eq y$ which means that $x^m$ is not PN.

研究动机与目标

• 刻画所有在奇素数 $p$ 的无穷多个 $\mathbb{F}_p$ 扩张上为完美非线性（PN）的幂映射 $x \mapsto x^m$。
• 将特征为 2 时用于 APN 函数的方法扩展到奇特征下的 PN 情况。
• 确定 $m = 1 + p^l$ 是否为满足 $m \equiv 1 \mod p$ 且使得 $x^m$ 在无穷多个 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上保持 PN 的唯一指数 $m$。

提出的方法

• 分析编码 $x^m$ 的 PN 条件的多项式 $h(x,y) = \frac{(x+1)^m - x^m - (y+1)^m + y^m}{x-y}$。
• 应用贝祖定理来界定 $h$ 的各分量的总交点数，将其与奇点的平方重数之和联系起来。
• 使用奇点分析来计算 $h$ 的奇点重数，特别是在 $m \equiv 1 \mod p$ 的情形下，推导出限制可能因式分解的不等式。
• 证明：若 $h$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上有绝对不可约因子，则 $x^m$ 在大扩张 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上不可能是 PN，这是通过有理点的点计数界限得出的。
• 利用伽罗瓦下降和弗罗贝尼乌斯自同态论证，表明若 $\gcd(m-1, p-1) > 1$，则 $h$ 必须在 $\mathbb{F}_p$ 上有绝对不可约因子，从而导致非 PN 行为。
• 证明：当 $m \neq 1 + p^l$ 且 $m \equiv 1 \mod p$ 时，次数和奇点约束将导致矛盾，除非 $h$ 有绝对不可约因子，因此排除了大 $n$ 时的 PN 行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于奇素数 $p$，哪些幂映射 $x \mapsto x^m$ 在 $\mathbb{F}_p$ 的无穷多个扩张上是完美非线性（PN）的？
• RQ2 能否使用代数几何方法将特征为奇数时 PN 函数的刻画扩展，类似于特征为 2 时的 APN 情况？
• RQ3 是否存在满足 $m \equiv 1 \mod p$ 且 $m \neq 1 + p^l$ 的 $m$，使得 $x^m$ 在无穷多个 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上保持 PN？
• RQ4 多项式 $h(x,y)$ 在确定奇特征有限域上 $x^m$ 的 PN 性质中起什么作用？

主要发现

• 在奇素数 $p$ 的无穷多个 $\mathbb{F}_p$ 扩张上，唯一满足完美非线性（PN）的幂映射 $x \mapsto x^m$ 是那些满足 $m = 1 + p^l$ 的映射，其中 $l$ 为某个正整数。
• 当 $m \equiv 1 \mod p$ 且 $m \neq 1 + p^l$ 时，多项式 $h(x,y)$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上有绝对不可约因子，这意味着 $x^m$ 在足够大的 $n$ 下不可能是 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上的 PN 映射。
• 在假设 $m \neq 1 + p^l$ 且 $m \equiv 1 \mod p$ 的前提下，次数约束 $\deg(h)^2 \leq \sum_t m_t(h)^2$ 将导致矛盾，除非 $m = 1 + p^l$。
• 当 $\gcd(m-1, p-1) > 1$ 时，由于 $\mathbb{F}_p$ 中存在 $p$-有理单位根，$h$ 必须在 $\mathbb{F}_p$ 上有绝对不可约因子，从而强制导致非 PN 行为。
• 情况 $m = p^l(p^l - 1) + 1$ 被排除，因为它是奇数，而奇数 $m$ 无法在 $\mathbb{F}_p$ 上产生 PN 函数，因为 $x=0,1$ 都满足 $(x+1)^m - x^m = 1$。
• 该证明依赖于通过 Weil 型估计来界定 $h$ 的各分量上理性点的数量，表明任何绝对不可约因子都会导致 $\phi(x+a) - \phi(x) = b$ 的额外解，从而违反 PN 条件。