[论文解读] Functorial prolongations of some functional bundles

Antonella Cabras, Josef Janyška+1 more|ArXiv.org|Jul 19, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 28

一句话总结

本文引入了由两个纤维化流形在相同底空间上的纤维之间光滑映射构成的函数丛的函子性延拓。通过魏代数和自然变换，建立了保持括号的向量场延拓，推广了喷射延拓，并通过基于强差和魏丛理论的新型代数框架，证明了李括号在 $T^A$ 和 $G$-延拓下均被保持。

ABSTRACT

We discuss two kinds of functorial prolongations of the functional bundle of all smooth maps between the fibers over the same base point of two fibered manifolds over the same base. We study the prolongation of vector fields in both cases and we prove that the bracket is preserved. Our proof is based on several new results concerning the finite dimensional Weil bundles.

研究动机与目标

• 将经典的喷射延拓推广至同一底空间上纤维之间光滑映射的函数丛。
• 使用魏代数和自然变换，定义并研究此类函数丛上向量场的函子性延拓。
• 证明即使在无限维函数情形下，向量场的李括号在这些延拓下仍被保持。
• 通过主丛和伴随丛构造，将交换态射和流延拓的概念推广至函数丛。
• 通过魏函子和保持纤维积的丛函子，提供一个统一的延拓框架，推广 $J^r$ 和 $T^A$。

提出的方法

• 使用魏代数 $A$，通过魏丛的协变函子方法，定义函数丛 ${\mathcal{F}}(E_1,E_2) \to M$ 的 $T^A$-延拓。
• 引入场延拓算子 ${{\mathcal{T}}}^{A}X = \kappa^{A}_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ T^{A}X$，结合 $T^A$-延拓与交换映射 $\kappa^A$。
• 在魏代数背景下应用强差概念，代数刻画函数丛上李括号的性质。
• 对于 $G$-延拓，通过群同态 $H: G^r_m \to \operatorname{Aut} A$，将 $G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 构造为伴随丛 $P^rM[T^A{\mathcal{F}}(E_1,E_2), H_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}]$ 的子丛。
• 通过限制在 $G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 上的乘积向量场 $\{{\mathcal{P}}^r\xi, {\mathcal{T}}^A X\}$，定义向量场的新延拓 ${\mathcal{G}}X$，确保括号保持。
• 将从流形情形扩展的态射 $\mu^G_E$ 推广至函数情形，定义 $\mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}$，使得 ${\mathcal{G}}X = \mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ (j^r\xi \times_M GX)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典 $T^A$-延拓的向量场方法推广至同一底空间上纤维之间光滑映射的函数丛的无限维情形？
• RQ2 能否通过魏代数实现函数丛 ${\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 上向量场的李括号在函子性延拓下的保持？
• RQ3 函数丛的 $J^r$-延拓的适当推广是什么？它与保持纤维积的丛函子有何关系？
• RQ4 如何将交换态射和伴随丛构造的概念从流形推广至函数丛？
• RQ5 是否存在一个典范态射，能以喷射延拓和 $T^A$-延拓的形式实现 $G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 上向量场延拓的实现？

主要发现

• 场延拓算子 ${{\mathcal{T}}}^{A}X = \kappa^{A}_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ T^{A}X$ 即使在无流的情形下，也保持函数丛 ${\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 上向量场的李括号。
• 通过基于魏代数中强差的纯代数证明，确立了 ${{\mathcal{T}}}^{A}$ 下的括号保持性，完整刻画了强差与魏代数结构的关系。
• 对于 $G$-延拓，括号被保持：$[{{\mathcal{G}}}X_1, {{\mathcal{G}}}X_2] = {{\mathcal{G}}}[X_1,X_2]$，通过伴随丛上乘积向量场构造得以证明。
• $G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 的构造推广了 $J^r{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$，其中 $J^r$ 可作为特殊情形 $G = (\mathbb{D}^r_m, \operatorname{id}, \operatorname{id})$ 恢复。
• 定义了一个 $F$-光滑态射 $\mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}$，使得 ${{\mathcal{G}}}X = \mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ (j^r\xi \times_M GX)$，将流形情形的构造推广至函数丛。
• $H_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}$-不变性确保了在伴随丛上诱导的向量场是良定义且可投影的，从而支持了 ${\mathcal{G}}X$ 的构造。