[论文解读] Functoriality of Automorphic L-Invariants and Applications

Lennart Gehrmann|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 6

一句话总结

该论文建立了在完全实数域上，对GL(2)自守表示的阿贝尔基域扩张与雅克布-朗兰兹转移下，自守L-不变量的函子性。在标准非零假设下，证明了自守L-不变量在基域扩张下保持不变，并通过p-进L-函数插值与算术L-不变量相等，至多符号差异。关键结果是利用函子性与塔特周期的超越性，对完全实数域上模椭圆曲线的例外零点公式给出了新证明，从而消除了符号歧义。

ABSTRACT

We study the behaviour of automorphic L-Invariants associated to cuspidal representations of GL(2) of cohomological weight 0 under abelian base change and Jacquet-Langlands lifts to totally definite quaternion algebras. Under a standard non-vanishing hypothesis on automorphic L-functions and some technical restrictions on the automorphic representation and the base field we get a simple proof of the equality of automorphic and arithmetic L-invariants. This together with Spiess' results on p-adic L-functions yields a new proof of the exceptional zero conjecture for modular elliptic curves - at least, up to sign.

研究动机与目标

• 建立在完全实数域上，对GL(2)自守表示的阿贝尔基域扩张与雅克布-朗兰兹转移下，自守L-不变量的函子行为。
• 在不依赖Hida族或Euler系的前提下，证明模椭圆曲线在完全实数域上的自守L-不变量与算术L-不变量相等，至多符号差异。
• 通过p-进L-函数与塔特周期的超越性，提供模椭圆曲线例外零点猜想的新证明，且不依赖Hida族。

提出的方法

• 利用Spieß的p-进L-函数插值结果，将自守L-不变量与p-进L-函数的导数联系起来。
• 应用p-进L-函数的阿廷形式化，证明L-不变量在阿贝尔基域扩张下的不变性。
• 采用四元数Stickelberger元素与Bergunde对Spieß例外零点公式的推广，将基域扩张的L-不变量与雅克布-朗兰兹提升的L-不变量联系起来。
• 利用Cerednik-Drinfeld统一化方法，将四元数自守表示的L-不变量与算术L-不变量联系起来。
• 应用引理1.3，控制符号歧义中有限多个例外情形。
• 利用塔特周期的超越性（Barré-Sirieix等）消除自守L-不变量与算术L-不变量相等关系中的符号歧义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完全实数域上，GL(2)自守表示的自守L-不变量在阿贝尔基域扩张下是否具有函子性？
• RQ2 在不依赖Hida族或Euler系的前提下，能否建立自守L-不变量与算术L-不变量的相等关系？
• RQ3 自守L-不变量在向完全正定四元数代数的雅克布-朗兰兹转移下如何变换？
• RQ4 能否利用超越数论消除自守L-不变量与算术L-不变量相等关系中的符号歧义？
• RQ5 能否通过L-不变量的函子性与p-进L-函数插值，重新证明模椭圆曲线的例外零点公式？

主要发现

• 自守L-不变量在阿贝尔基域扩张下保持不变，如推论3.7所示。
• 对于任意数域F，自守L-不变量与无穷远处的符号无关，如定理A所确立。
• GL(2)表示π的自守L-不变量与其中心为完全正定四元数代数的雅克布-朗兰兹提升πB的L-不变量至多符号差异，如定理B所证明。
• 通过塔特周期的超越性，消除了自守L-不变量与算术L-不变量相等关系中的符号歧义，从而在定理C中得到精确相等。
• 通过函子性与p-进L-函数插值，获得了模椭圆曲线在完全实数域上例外零点猜想的新证明，至多符号差异。
• 对所有在˜p处分裂的完全虚二次扩张E，等式Lp(qA,˜p) = Lcyc(πE, q)成立，通过超越性确认了符号的消除。