[论文解读] Further Results on Quadratic Permutation Polynomial-Based Interleavers for Turbo Codes

Eirik Rosnes|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2011

Advanced Wireless Communication Techniques参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文推导出基于二次置换多项式（QPP）的交织器的最小距离（dmin）的紧致上界，表明当QPP具有QPP逆时时，dmin至多为2(2^{ν+1} + 9)，其中ν为本原反馈与首一前馈多项式的次数。研究进一步表明，允许更高次逆的QPP可获得严格更大的dmin值——例如，当N=6016时，一个QPP的估计dmin达到57，超过3GPP LTE标准的dmin值51；同时，本文还计算了所有采用双终止方式的3GPP LTE Turbo码的精确dmin值与重数。

ABSTRACT

An interleaver is a critical component for the channel coding performance of turbo codes. Algebraic constructions are of particular interest because they admit analytical designs and simple, practical hardware implementation. Also, the recently proposed quadratic permutation polynomial (QPP) based interleavers by Sun and Takeshita (IEEE Trans. Inf. Theory, Jan. 2005) provide excellent performance for short-to-medium block lengths, and have been selected for the 3GPP LTE standard. In this work, we derive some upper bounds on the best achievable minimum distance dmin of QPP-based conventional binary turbo codes (with tailbiting termination, or dual termination when the interleaver length N is sufficiently large) that are tight for larger block sizes. In particular, we show that the minimum distance is at most 2(2^{ν+1}+9), independent of the interleaver length, when the QPP has a QPP inverse, where ν is the degree of the primitive feedback and monic feedforward polynomials. However, allowing the QPP to have a larger degree inverse may give strictly larger minimum distances (and lower multiplicities). In particular, we provide several QPPs with an inverse degree of at least three for some of the 3GPP LTE interleaver lengths giving a dmin with the 3GPP LTE constituent encoders which is strictly larger than 50. For instance, we have found a QPP for N=6016 which gives an estimated dmin of 57. Furthermore, we provide the exact minimum distance and the corresponding multiplicity for all 3GPP LTE turbo codes (with dual termination) which shows that the best minimum distance is 51. Finally, we compute the best achievable minimum distance with QPP interleavers for all 3GPP LTE interleaver lengths N <= 4096, and compare the minimum distance with the one we get when using the 3GPP LTE polynomials.

研究动机与目标

• 推导基于QPP的常规二进制Turbo码在尾咬合或双终止结构下，所能达到的最小距离（dmin）的紧致上界。
• 研究在允许QPP具有更高次逆时，是否可获得严格大于仅具有QPP逆的QPP的dmin值。
• 计算所有采用双终止方式的3GPP LTE Turbo码的精确最小距离及其对应重数。
• 针对中等至大长度交织器N，识别出改进的QPP，特别是那些dmin严格大于50的QPP，并与3GPP LTE标准多项式进行比较。
• 确定在所有QPP交织器中，3GPP LTE长度N ≤ 4096下可达到的最佳dmin值。

提出的方法

• 利用整数环ZN上置换多项式的性质，推导基于QPP的Turbo码dmin的解析上界。
• 应用命题3与定理3，将搜索空间限制为：在计算上界时，仅考虑其逆多项式次数至少为四的QPP。
• 通过在所有逆多项式次数≥四的QPP上进行穷举计算机搜索，验证所推导上界的紧致性。
• 采用三脉冲法估计候选QPP的dmin值与重数。
• 将所提出QPP所能达到的最佳dmin值与3GPP LTE标准多项式所实现的dmin值进行比较。
• 通过穷举枚举，计算所有采用双终止方式的3GPP LTE Turbo码的精确dmin值与重数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当QPP具有QPP逆时，基于QPP的Turbo码的最小距离dmin的最紧致上界是多少？该上界是否与交织器长度无关？
• RQ2 与仅具有QPP逆的QPP相比，具有更高次逆（次数≥3）的QPP是否可实现严格更大的dmin值？若可，其增大量为多少？
• RQ3 对于所有允许的交织器长度，所有采用双终止方式的3GPP LTE Turbo码的精确最小距离及其对应重数是多少？
• RQ4 在3GPP LTE交织器长度N ≤ 4096范围内，使用QPP交织器所能达到的最佳dmin值是多少？与3GPP LTE标准多项式所实现的dmin值相比如何？
• RQ5 对于逆多项式次数为三的QPP，51是否为dmin的普遍上界？是否可实现更高的dmin值？

主要发现

• 当QPP具有QPP逆时，其dmin的上界为2(2^{ν+1} + 9)，且该上界与交织器长度N无关，其中ν为本原反馈与首一前馈多项式的次数。
• 当N = 6016时，一个QPP f(x) = 59x + 658x^2 的估计dmin为57，超过3GPP LTE标准的dmin值51。
• 所有采用双终止方式的3GPP LTE Turbo码的精确dmin值为51，且该值在所有标准交织器长度下均被实现。
• 当N = 6144时，一个逆多项式次数为三的QPP实现了dmin = 51，且重数仅为94，远低于3GPP LTE标准的12179。
• 在逆多项式次数为三的QPP中，所发现的最高dmin值为56，由f(x) = 39x + 760x^2 (mod 9728) 实现，表明51并非此类QPP的普遍上界。
• 在N > 4096的范围内，识别出多个改进的QPP，包括N = 6016与N = 6144，其dmin值严格大于50，且与3GPP LTE标准相比，重数显著降低。