[论文解读] Fuzzy Abel Grassmann's Groupoids

Madad Khan, Muhammad Nouman Aslam Khan|ArXiv.org|Apr 1, 2009

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文介紹並研究了阿貝爾-格拉薩曼群oids（AG-群oids）中的模糊理想，建立了模糊左理想、內部理想和雙理想的基本性質。證明了所有模糊左理想的集合在運算下構成一個交換幺半群，並顯示完全模糊素和擬素AG-群oids具有半格與幂等結構，關鍵等價關係將模糊半素理想與在左單位元條件下的幂等模糊左理想聯繫起來。

ABSTRACT

In the present paper we have studied the concept of fuzzification in AG-groupoids. The equivalent statement for an AG-groupoid to be a commutative semigroup is proved. Fuzzy points have been defined in an AG-groupoid and has been shown the representation of smallest fuzzy left ideal generated by a fuzzy point. The set of all fuzzy left ideals, which are idempotents, forms a commutative monoid. The relation of fuzzy left(right) ideals, fuzzy interior ideals and fuzzy bi-ideals in AG-groupoid has been studied. Necessary and sufficient condition of fully fuzzy prime AG-groupoid has been shown. Further, It has been shown that the set of fuzzy quasi-prime ideals of AG-groupoid with left identity forms a semillattice structure. Moreover, equivalent statements for fuzzy semiprime left ideal in an AG-groupoid have been proved.

研究动机与目标

• 將模糊集理論擴展至非結合代數結構，通過研究AG-群oids中的模糊化來實現。
• 特徵化由模糊點生成的模糊左理想，並分析其代數性質。
• 研究AG-群oids中模糊左理想、內部理想與雙理想的相互關係。
• 建立完全模糊素與擬素AG-群oids的必要與充分條件。
• 探討模糊理想的代數結構，特別是交換幺半群與半格的形成。

提出的方法

• 在AG-群oids中定義模糊點，並構造由這些點生成的最小模糊左理想。
• 使用分解式 $ x = yz $ 上的上確界定義模糊子集上的乘積運算 $ f \circ g $，其中 $ (f \circ g)(x) = \bigvee_{x=yz} \{ f(y) \wedge g(z) \} $。
• 證明 $ (F(S), \circ) $ 構成一個AG-群oids，且滿足中間律與左反演律。
• 利用左單位元性質推導出模糊乘積中的類似交換性行為，例如 $ f \circ (g \circ h) = g \circ (f \circ h) $。
• 通過模糊理想乘積與交集的代數運算，建立冪等性與半素條件。
• 應用格論概念，證明模糊擬素理想集合在交集與乘積運算下構成一個半格。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模糊理想背景下，AG-群oids 成為交換半群的等價條件是什麼？
• RQ2 如何在AG-群oids中代數表示由模糊點生成的最小模糊左理想？
• RQ3 在什麼條件下，所有模糊左理想的集合構成一個交換幺半群？
• RQ4 AG-群oids中模糊內部理想、模糊雙理想與模糊左理想之間的關係是什麼？
• RQ5 什麼特徵定義了完全模糊素或擬素AG-群oids，且這些性質與半格結構有何關聯？

主要发现

• 在AG-群oids中，所有模糊左理想的集合在運算 $ \circ $ 下構成一個交換幺半群，其單位元為在左單位元處值為1、其餘處為0的模糊集。
• 對於具有左單位元的AG-群oids，若該群oids為完全模糊擬素，則任意兩個模糊左理想 $ f $ 與 $ g $ 的乘積滿足 $ f \circ g = f \cap g $。
• 在具有左單位元的AG-群oids中，所有模糊擬素理想的集合在交集與乘積運算下構成一個半格結構。
• 一個模糊左理想 $ f $ 是半素的，當且僅當 $ f^2 \subseteq f $ 蕴含 $ f \subseteq f^2 $，且此條件等價於當 $ f \circ f = f $ 時 $ f $ 為冪等。
• AG-群oids為完全模糊素，當且僅當其所有模糊理想均為冪等，且模糊理想在包含關係下完全有序。
• 在完全模糊擬素AG-群oids中，每個模糊左理想均為冪等，且乘積 $ f \circ g $ 等於 $ f \cap g $，顯示模糊理想之間具有強烈的代數一致性。