[论文解读] G-automata, counter languages and the Chomsky hierarchy

Murray Elder|ArXiv.org|Aug 9, 2005

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文建立了群的字问题计算复杂度与该群的G-自动机所识别语言类之间的基本联系。证明了若一个有限生成群G的字问题属于某语言类M（例如，上下文有关、索引语言），则由G-自动机识别的任一语言也属于M。一个关键结果是：计数器语言（由ℤⁿ-自动机识别的语言）是上下文有关的，且当且仅当ℤⁿ的字问题属于索引语言类时，计数器语言才是索引语言。

ABSTRACT

We consider how the languages of $G$-automata compare with other formal language classes. We prove that if the word problem of a group $G$ is accepted by a machine in the class $\mathcal M$ then the language of any $G$-automaton is in the class $\mathcal M$. It follows that the so called {\emph counter languages} (languages of $\mathbb Z^n$-automata) are context-sensitive, and further that counter languages are indexed if and only if the word problem for $\mathbb Z^n$ is indexed.

研究动机与目标

• 建立群的字问题计算复杂度类与该群的G-自动机所识别语言类之间的普遍对应关系。
• 厘清代数语言类——即由ℤⁿ-自动机识别的语言——在乔姆斯基层级中的位置。
• 通过分析ℤⁿ字问题的复杂度，探究计数器语言是否为索引语言。
• 为理解群论性质如何约束形式语言类，提供一个理论框架。

提出的方法

• 将G-自动机定义为边标签为群元素的有限状态机，其接受条件要求输入字匹配且群元素乘积等于单位元。
• 从一个G-自动机P和一台接受G字问题的M-机器N构造复合机器M，通过合并其状态空间和转移规则。
• 利用群乘积条件模拟字问题检查，证明M所接受的语言与P所接受的语言一致。
• 利用语言类在有限状态乘积构造下的封闭性，将字问题的复杂度传递至G-自动机语言。
• 利用关于字问题的已知结果（例如，对拟自由群或幂零群）推导其G-自动机语言类的含义。
• 将主定理应用于ℤⁿ的特殊情况，证明计数器语言是上下文有关的，且当且仅当ℤⁿ的字问题属于索引语言类时，计数器语言才是索引语言。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，G-自动机的语言被包含于给定的形式语言类M中？
• RQ2 群G的字问题的复杂度如何约束G-自动机所识别语言的复杂度？
• RQ3 计数器语言（即由ℤⁿ-自动机识别的语言）是上下文有关的还是索引语言？
• RQ4 ℤⁿ的字问题是否为索引语言？若为真，这将对计数器语言类产生何种影响？
• RQ5 能否通过将计数器语言的索引性归约为ℤⁿ的字问题复杂度来确定？

主要发现

• 若一个有限生成群G的字问题属于某语言类M，则由G-自动机识别的任一语言也属于M。
• 由ℤⁿ-自动机识别的计数器语言是上下文有关的，因为ℤⁿ的字问题属于上下文有关语言类。
• 计数器语言是索引语言当且仅当对所有n ≥ 1，ℤⁿ的字问题属于索引语言类。
• ℤⁿ的字问题是否属于索引语言类尚未可知，本文推测其不属于，依据是相关语言L的复杂度。
• 语言L = {xⁿwₙ | n ∈ ℕ, wₙ ∈ Lₙ(y,z)}——即ℤ²字问题的一个片段——被提出作为证明ℤ²字问题非索引性的候选语言。
• 从G-自动机和字问题的M-机器构造复合机器M的方法，为语言类成员资格的传递提供了通用方法。