[论文解读] Géométrie d'Arakelov des variétés toriques et fibrés en droites intégrables

Vincent Maillot|ArXiv.org|Jun 16, 1997

Geometry and complex manifolds被引用 24

一句话总结

本文通过在 Spec ℤ 上的光滑射影环面代数簇上引入非必要 C∞ 的线丛典范度量，构建了阿赖凯洛夫几何框架，使可积线丛的算术陈类与算术陈群得以定义。关键贡献是推广了算术伯恩斯坦-库什尼连科定理，将环面线丛的算术度与其对应多面体的体积以及编码度量数据的新常数 L(∇) 联系起来。

ABSTRACT

En nous appuyant sur une construction due à Bedford et Taylor, et certains résultats récents de Demailly, nous présentons une extension (partielle) de la géométrie d'Arakelov aux fibrés en droites intégrables. (Ces derniers sont les fibrés en droites hermitiens sur une variété arithmétique $X$ pouvant se décomposer sous la forme $\ov{E} = \ov{E}_{1}\otimes (\ov{E}_{2})^{-1}$, où $\ov{E}_{1}$ et $\ov{E}_{2}$ sont des fibrés en droites munis à l'infini d'une métrique continue approchable uniformément sur $X(C)$ par des métriques positives $C^{\infty}$). Nous appliquons notre théorie aux fibrés en droites sur une variété torique munis à l'infini de leur métrique canonique. Nous en déduisons, entre autres choses, la démonstration d'un analogue arithmétique du théorème de Bernstein-Koushnirenko.

研究动机与目标

• 通过构造线丛上不一定是 C∞ 的典范度量，将阿赖凯洛夫理论推广至 Spec ℤ 上的环面簇。
• 即使一阶陈当前不光滑，也定义可积线丛的算术陈群与陈类。
• 将经典伯恩斯坦-库什尼连科定理推广至算术情形，建立算术度与多面体不变量之间的联系。
• 利用广义微分形式与 Bedford-Taylor 理论，建立环面簇上算术交点理论的框架。
• 通过函子性与正性性质刻画环面线丛的典范度量，确保其唯一性与算术交点的一致性。

提出的方法

• 利用扇与多面体的组合数据，在 Spec ℤ 上的环面簇上线丛上构造典范度量。
• 引入可积线丛的概念，将其定义为可接受线丛之差，其中可接受意味着度量为正且可由 C∞ 度量逼近。
• 应用 Bedford-Taylor-Demailly 理论，定义表示一阶陈类的非光滑 (1,1)-当前的乘积。
• 发展广义微分形式理论，以处理非光滑度量，从而为可积线丛定义算术陈群。
• 利用陈当前的正性与在循环上的积分，推导算术高度的上界。
• 通过超曲面截面的递归循环构造方法，证明主要算术伯恩斯坦-库什尼连科定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当线丛的典范度量非 C∞ 时，如何在 Spec ℤ 上的环面簇上定义算术陈类与交点理论？
• RQ2 环面簇的算术伯恩斯坦-库什尼连科定理的算术类比是什么？
• RQ3 如何通过可积线丛将吉勒特-苏莱算术陈群理论推广至非光滑度量情形？
• RQ4 常数 L(∇) 在环面簇算术交点理论中起什么作用？
• RQ5 环面线丛的典范度量在限制与交点下的行为如何？其函子性质是什么？

主要发现

• 即使不光滑，环面线丛在典范度量下的第一陈当前仍为闭的正 (1,1)-当前，其幂可通过 Bedford-Taylor 理论定义。
• 光滑射影环面簇的算术陈群由可积线丛的算术第一陈类生成，推广了经典陈环。
• 环面线丛的典范度量由其函子性与正性性质唯一刻画，确保在环面簇范畴中的一致性。
• 环面线丛的算术度受其对应多面体体积与一个涉及常数 L(∇) 的修正项共同限制，其中 L(∇) 依赖于度量的奇点。
• 主要结果为算术伯恩斯坦-库什尼连科定理：由线丛截面定义的循环高度受线丛度数之和与涉及 L(∇k) 及截面除子高度的项共同限制。
• 证明依赖于循环的递归构造与一个关键不等式，该不等式通过截面的对数范数上确界与陈当前的正性，限制了与超曲面相交后循环的高度。