[论文解读] Géométrie de contact: de la dimension trois vers les dimensions supérieures

Emmanuel Giroux|arXiv (Cornell University)|May 8, 2003

Geometric and Algebraic Topology被引用 360

一句话总结

本文在闭合奇数维流形上的接触结构与具有特定几何性质的开书之间建立了深度对应关系。它表明每个接触结构都由一个开书所支持，该开书的页为紧致斯坦曼（Stein）流形，单值变换为辛同胚，且稳定化操作对应于正拉格朗日子流形的并装——通过使用唐纳森（Donaldson）的正线丛理论以及开书理论等辛几何与接触几何工具，将三维接触拓扑中的对应关系推广至高维。

ABSTRACT

On décrit ici des relations entre la géométrie globale des variétés de contact closes et celle de certaines variétés symplectiques, à savoir les variétés de Stein compactes. L'origine de ces relations est l'existence de livres ouverts adaptés aux structures de contact. We discuss relations between the global geometry of closed contact manifolds and the geometry of compact symplectic Stein manifolds that they bound. The origin of these relations is the existence of open book decompositions adapted to contact structures.

研究动机与目标

• 在闭合奇数维流形上的接触结构与具有特定几何与辛性质的开书之间建立对应关系。
• 将涉及开书与接触结构的三维接触拓扑对应关系推广至高维。
• 证明高维接触结构可由页为紧致斯坦流形、单值变换为辛同胚的开书实现。
• 识别正拉格朗日子流形并装在高维情形下作为开书稳定化的基本操作的角色。
• 通过正线丛理论与开书理论，将接触流形的全局几何与辛几何相联系。

提出的方法

• 将开书作为几何工具，用于参数化闭流形上的接触结构。
• 构造与开书相适应的接触形式，要求该形式在绑定（binding）上诱导出接触结构，在每页上诱导出辛结构。
• 应用 S. 唐纳森（S. Donaldson）在辛几何中的正线丛理论，以在高维构造所需的开书。
• 通过 IMP 等人的工作，将正线丛理论适配至接触几何。
• 以米尔诺纤维化（Milnor fibration）作为典型例子：具有孤立奇点的全纯函数在球面上诱导出开书，且支持标准接触结构。
• 定义接触结构“被开书所支持”的含义，明确形式在绑定与页上的行为条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用开书对闭合奇数维流形上的接触结构进行分类？
• RQ2 在高维中，何种几何与辛条件使得开书能够支持接触结构？
• RQ3 正拉格朗日子流形并装在支持接触结构的开书稳定化中扮演何种角色？
• RQ4 辛几何中的正线丛理论如何在高维接触几何中得到推广？
• RQ5 每个维度大于3的闭合接触流形是否都能实现为具有斯坦页与辛单值变换的开书？

主要发现

• 每个在维数为 2n+1 的闭流形上的接触结构，均由一个开书所支持，其页为紧致斯坦流形，单值变换为具有紧支集的辛同胚。
• 在高维情形下，基本稳定化操作对应于正拉格朗日子流形的并装，推广了三维情形。
• 此类开书的存在性由 S. 唐纳森发展的正线丛理论保证，并已适配至接触几何。
• 球面 S^{2n+1} 上的标准接触结构，是具有孤立奇点的全纯函数的米尔诺纤维化所对应的开书。
• 本文证明：若一个流形 admits 接触结构，则其与一个二维环面的积流形也 admits 接触结构，该结论通过使用适配的接触形式与径向函数构造得出。
• 高维中接触结构与开书之间的对应关系是全局的、拓扑不变量，类似于三维情形，但具有更强的辛与复几何约束。