[论文解读] G2 instantons and the Seiberg-Witten monopoles

Andriy Haydys|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 2被引用 9

一句话总结

本文提出了一种关于7-流形上G₂瞬子与关联子流形上Seiberg–Witten单极子之间猜想性关系的构想，表明G₂瞬子向Fueter截面（广义单极子）的退化可能抵消瞬子计数中的跳跃，从而可能实现一个与形变无关的Casson型不变量。该框架通过Fueter映射和旋量的节点集，将高维规范场论与3D的Seiberg–Witten理论联系起来。

ABSTRACT

I describe a relation (mostly conjectural) between the Seiberg-Witten monopoles, Fueter sections, and G2 instantons. In the last part of this article I gathered some open questions connected with this relation.

研究动机与目标

• 探索7-流形上G₂瞬子与关联子流形上Seiberg–Witten单极子之间可能存在的对应关系。
• 理解G₂瞬子向Fueter截面的退化如何与度量形变下瞬子计数的跳跃相关联。
• 研究G₂瞬子与Seiberg–Witten单极子之间的相互退化是否可能相互抵消，从而实现一个良定义的Casson型不变量。
• 检查Seiberg–Witten理论中出现的Z/2-调和旋量的节点集的正则性及其拓扑意义。
• 确定在Seiberg–Witten解中，若行列式线丛平凡，则爆破集Z是否在一般情况下为空，从而简化与G₂瞬子的对应关系。

提出的方法

• 利用Fueter截面作为G₂瞬子与Seiberg–Witten单极子之间的桥梁，建模关联子流形上瞬子的退化行为。
• 应用带有两个旋量的Seiberg–Witten方程，研究解的节点集Z，特别关注Z/2-调和旋量。
• 分析由ker(Ψ)定义的映射Φ₀: M∖Z → Gr_{n−2}(Cⁿ)，寻求其在M上的延拓，以定义良定义的同调类[Z, θ, or] ∈ H₁(M, Z)。
• 采用Uhlenbeck型紧化技术，并考虑具有Fueter截面奇点的理想瞬子，以应对模空间的非紧性。
• 在G₂瞬子与3D中的平坦联络之间建立类比，二者均为Chern–Simons型泛函的临界点。
• 考虑行列式线丛在决定爆破集Z是否非平凡或一般为空时的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些对(ψ, Z)可作为具有两个旋量的Seiberg–Witten单极子的退化形式出现？
• RQ2 Z/2-调和旋量的节点集Z是否可度量化？其一维Hausdorff测度是否有限？
• RQ3 对于具有平凡行列式线丛的Seiberg–Witten解，爆破集Z在度量与联络空间中是否一般为空？
• RQ4 对于M∖Z上的任意解(A, Ψ, 0)，映射Φ₀: M∖Z → Gr_{n−2}(Cⁿ)是否可连续延拓至整个M？
• RQ5 通过包含关联子流形上Seiberg–Witten单极子的贡献，是否可使G₂瞬子的计数实现形变不变性？

主要发现

• Z/2-调和旋量的节点集Z包含一个开的、稠密的子集，该子集是M的Lipschitz子流形，且其Hausdorff维数至多为1。
• 由ker(Ψ)定义的映射Φ₀: M∖Z → Gr_{n−2}(Cⁿ)可能连续延拓至M，若该延拓存在，则可定义同调类[Z, θ, or] ∈ H₁(M, Z)。
• 对于具有平凡行列式线丛的解，爆破集Z在Riemann度量与SU(n)-联络的空间中被猜想为一般为空。
• G₂瞬子在关联子流形上向Fueter截面的退化，预计与Seiberg–Witten单极子的退化一致，暗示在不变量中可能存在抵消。
• 对于真实调和旋量的已知正则性结果（例如节点集为可数可度量化）无法直接推广至Z/2-调和旋量，其中Z的结构仍部分开放。
• 尚不明确是否可通过关联子流形的加权计数来定义G₂瞬子计数的反项，尤其是在几何转变下。