[论文解读] Galois groups and automata

Patrice Philippon|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2015

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文证明了在正则性条件下，ℚ上q-正则函数在代数点处取值的代数关系，源自于这些函数本身之间代数关系的特殊化。它证明了q-正则函数在ℚ(z)上线性无关，意味着其在非奇点代数点处的取值也线性无关，将Mahler方法推广至伽罗瓦理论框架，并改进了关于自动数与超越性的结果。

ABSTRACT

In the frame of Mahler's method for algebraic independence we show that the algebraic relations over Q linking the values of functions solutions of a system of functional equations come from the algebraic relations between the functions themselves, by specialisation. We deduce some results on the linear independence of the q-regular functions.

研究动机与目标

• 将Siegel-Shidlovskii定理推广至Mahler函数方程与q-正则函数的背景中。
• 阐明q-正则函数在代数点处取值的代数关系的起源。
• 建立一个伽罗瓦理论框架，以理解Mahler型函数方程中的代数无关性。
• 在自动数的背景下，提供q-正则函数取值线性无关性的新结果。
• 通过将它们与函数关系和伽罗瓦群联系起来，改进现有关于自动数超越性的结果。

提出的方法

• 使用差分伽罗瓦理论框架处理形如f(z) = A(z)f(z^q)的函数方程组。
• 引入由T(z^q^ℓ)的根定义的奇点集，其中T(z)是捕捉A(z)及其逆矩阵极点的最小多项式。
• 应用特殊化技术，将函数取值之间的代数关系与函数本身之间的关系联系起来。
• 在z-Adic拓扑中运用收敛性论证，构造系数属于O[[z]]的基本解矩阵U(z)。
• 依赖于在0处解析的基本解矩阵的存在性，其特征为A(0) = Id。
• 利用系统的伽罗瓦群结构来控制函数取值之间的代数关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 q-正则函数在代数点处取值的代数关系是否源自于函数本身之间关系的特殊化？
• RQ2 q-正则函数在ℚ(z)上线性无关，是否可提升为在非奇点代数点处取值的线性无关性？
• RQ3 奇点集（即T(z^q^ℓ)的根）在控制函数取值之间代数关系中起什么作用？
• RQ4 函数方程系统的伽罗瓦群如何约束函数取值之间的代数关系？
• RQ5 关于自动数与q-正则函数的结果，在Mahler设定下，其对经典Siegel-Shidlovskii定理的推广程度如何？

主要发现

• 对于任意满足|α| < 1且对所有ℓ ∈ ℕ有T(α^q^ℓ) ≠ 0的代数α，ℚ上任意关于f(α)的代数关系P(f(α)) = 0，均源自ℚ[z]上关于Q(z, f(z)) = 0的关系，且满足P(X) = Q(α, X)。
• 若系统满足A(0) = Id，则q-正则函数在非奇点代数点处取值的超越性，可由函数在ℚ(z)上线性无关性推出。
• 函数取值之间代数关系不源自函数层面关系的例外点集合，包含于由T(z^q^ℓ)的根定义的奇点集中。
• 当且仅当A(0) = Id时，f(z) = A(z)f(z^q)的基本解矩阵U(z)存在，其系数属于O[[z]]，且在0的邻域内解析。
• 基本解矩阵U(z)的系数在单位开圆盘内是亚纯的，其公分母为∏_{ξ∈S, ℓ∈ℕ} (1 − ξ^{-1} z^{q^ℓ})。
• 该结果将Beukers与André的微分伽罗瓦结果推广至差分方程设定，表明代数关系的例外集恰好是奇点集。