[论文解读] Galois Groups of Generic Polynomials

Igor Rivin|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文证明，对于系数在 $[-N, N]$ 内的随机首一多项式，其伽罗瓦群不是完整对称群 $S_d$ 的概率被控制在 $\frac{\log^{f(d)}N}{N}$ 以内，其中 $f(d)$ 是一个可有效计算的、关于 $d$ 多项式增长的函数。该结果结合代数几何（Lang-Weil 估计）、群论（有限单群分类定理）以及预解多项式，分析了可约性与伽罗瓦群的限制，从而解决了关于一般多项式伽罗瓦群分布的一个长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We show that the Galois group of a random monic polynomial %of degree $d>12$ with integer coefficients between $-N$ and $N$ is NOT $S_d$ with probability $\ll \frac{\log^{Ω(d)}N}{N}.$ Conditionally on NOTbeing the full symmetric group, we have a hierarchy of possibilities each of which has polylog probability of occurring. These results also apply to random polynomials with only a subset of the coefficients allowed to vary. This settles a question going back to 1936.

研究动机与目标

• 解决关于有界整系数随机首一多项式伽罗瓦群分布的一个长期悬而未决问题。
• 建立此类多项式伽罗瓦群不是 $S_d$ 或 $A_d$ 的概率的精确上界。
• 将这些上界推广至仅部分系数随机的情况，且在温和的非退化条件下仍成立。
• 提供一个条件性的伽罗瓦群可能层级结构，每一类群出现的概率均以 $N$ 的多对数函数形式衰减。
• 证明非 $S_d$ 伽罗瓦群的概率衰减速度快于任意 $N^{-1}$ 的幂次，其衰减速率在猜想中接近线性衰减。

提出的方法

• 应用 Lang-Weil 估计，以控制由多项式因式分解条件定义的代数簇上高度有界的整点数量。
• 利用 S. D. Cohen 关于受限系数多项式伽罗瓦群的结果，以控制小伽罗瓦群出现的可能性。
• 构造与 $S_d$ 的子群（特别是 $A_d$）相关的预解多项式，以检测伽罗瓦群是否包含于其中。
• 利用定理 9.3：若伽罗瓦群包含于某子群 $G$ 的共轭，则其预解多项式 $Q_G(p)$ 具有整数根。
• 利用具有给定预解多项式且具有整数根的多项式数量被限制为 $O(N^{d-1} \log^{f(d)}N)$ 的事实，从而导出最终的概率上界。
• 利用有限单群分类定理控制 $f(d)$ 的增长，确保其关于 $d$ 多项式增长，而非超指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机首一整系数多项式在 $[-N, N]$ 范围内，其伽罗瓦群不是 $S_d$ 的渐近概率是多少？
• RQ2 该概率如何依赖于变动系数的数量，特别是当部分系数被固定时？
• RQ3 能否比以往结果（如 $O(N^{-1/6})$ 或 $O(N^{-2+\sqrt{2}})$）更紧密地界定非 $S_d$ 伽罗瓦群的概率？
• RQ4 可能的伽罗瓦群层级结构（如 $A_d$、其他本原群）及其各自出现的概率是怎样的？
• RQ5 非 $S_d$ 概率的实际衰减速率是否更接近猜想中的 $O(N^{-1})$，还是仍保持多对数形式？

主要发现

• 随机首一整系数多项式在 $[-N, N]$ 范围内，其伽罗瓦群不是 $S_d$ 的概率上界为 $\frac{\log^{f(d)}N}{N}$，其中 $f(d)$ 是一个关于 $d$ 多项式增长的可有效计算函数。
• 即使仅有 $r \geq 2$ 个系数随机，只要固定系数不强制导致可约性或 $p(x) = f(x^k)$ 的形式，该上界依然成立。
• 伽罗瓦群为 $A_d$ 的概率上界为 $\frac{\log^{\Omega(d)}N}{N}$，其中 $\Omega(d)$ 关于 $d$ 二次增长。
• 使用 $A_d$ 的预解多项式方法可消除对次数 $\geq 12$ 的假设，但若不使用有限单群分类定理，则 $f(d)$ 会更大。
• 本文提供了一个条件性的伽罗瓦群可能层级结构，每一类群出现的概率均以 $N$ 的多对数函数形式衰减。
• 作者猜想真实衰减速率为线性，即 $O(N^{-1})$，其依据为判别式的平方性以及完全平方数的计数。