[论文解读] Galois module structure of Milnor K-theory mod p^s in characteristic p

Jan Minaÿc, Andrew Schultz+1 more|ArXiv.org|Feb 24, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文确定了特征为 $p$ 的域的循环扩张中，Milnor K-理论群模 $p^s$ 的伽罗瓦模结构，表明 $K_mE/p^sK_mE$ 可分解为 $\mathbb{Z}/p^s\mathbb{Z}[\operatorname{Gal}(E/F)]$ 上的自由模的直和，其秩由剩余域中范数像决定。该结果推广了关于 $p$-挠 Milnor K-理论的先前工作，并给出了所有自由直和项均非零的显式扩张构造。

ABSTRACT

Let E be a cyclic extension of pth-power degree of a field F of characteristic p. For all m, s in N, we determine K_mE/p^sK_mE as a (Z/p^sZ)[Gal(E/F)]-module. We also provide examples of extensions for which all of the possible nonzero summands in the decomposition are indeed nonzero.

研究动机与目标

• 确定对于特征为 $p$ 的 $p^n$ 次循环扩张 $E/F$，$K_mE/p^sK_mE$ 作为 $(\mathbb{Z}/p^s\mathbb{Z})[\operatorname{Gal}(E/F)]$-模的结构。
• 将先前关于 $k_mE = K_mE/pK_mE$ 的结果推广至更高模数 $p^s$，推广 $s=1$ 的情形。
• 构造显式域扩张，使得分解中所有可能的自由直和项均非零，从而证明所有 $p$-幂次维度均可实现。
• 证明在 $k_mE$ 中出现的不可约 $\mathbb{F}_p[\operatorname{Gal}(E/F)]$-模的维数均为 $p$ 的幂次，且对所有 $i=0,\dots,n$，所有此类维数 $p^i$ 均可在适当例子中出现。

提出的方法

• 通过 $s$ 的归纳法，将 [BLMS] 中 $s=1$ 的结果提升至更高 $s$，依赖于 Izhboldin 所证明的 $K_mE$ 中无 $p$-挠。
• 通过模 $p^s$ 的相容提升，从 $K_mE/p^{s-1}K_mE$ 提升基元素代表元，确保 $G$-不变性，构造 $K_mE/p^sK_mE$ 中的基元素代表。
• 对每个 $0 \leq i \leq n$，定义子模 $Y_i$ 为 $R_sG_i = \mathbb{Z}/p^s\mathbb{Z}[\operatorname{Gal}(E_i/F)]$ 上的自由模，其秩由 $k_mE_i$ 中范数像的维数及范数群商的维数导出。
• 利用 Milnor K-理论中的投影公式与余维映射，验证对应于 $\{x_j, y_1, \dots, y_{m-1}\}$ 的元素属于 $N_{E_j/F}k_mE_j$ 但不属于 $N_{E_{j+1}/F}k_mE_{j+1}$，从而确保直和项非零。
• 通过在基域 $K$ 上迭代形式幂级数域，构造显式域扩张 $E/F$，其中已知存在 $m=1$ 的扩张，确保对所有 $m \geq 1$ 满足所需的范数条件。
• 应用 Artin-Schreier 算子及涉及 Milnor-Witt 群 $Q^m(F,s)$ 的正合列，将 $K_mF/p^sK_mF$ 与微分形式联系起来，支持模结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于特征为 $p$ 的 $p^n$ 次循环扩张 $E/F$，$K_mE/p^sK_mE$ 的伽罗瓦模结构是什么？
• RQ2 在 $K_mE/p^sK_mE$ 的分解中，自由直和项的秩如何与 $K_mE_i$ 中的范数群相关？
• RQ3 能否构造显式域扩张，使得分解中所有可能的自由直和项均非零？
• RQ4 哪些不可约 $\mathbb{F}_p[\operatorname{Gal}(E/F)]$-模的维数可作为 $k_mE$ 的直和项出现？
• RQ5 所有 $p$-幂次维数 $p^i$（$i=0,\dots,n$）是否均可在适当扩张中作为 $k_mE$ 的不可约直和项的维数出现？

主要发现

• $R_sG$-模 $K_mE/p^sK_mE$ 可分解为 $\oplus_{i=0}^n Y_i$，其中每个 $Y_i$ 是 $R_sG_i = \mathbb{Z}/p^s\mathbb{Z}[\operatorname{Gal}(E_i/F)]$ 上的自由模。
• $Y_n$ 的秩为 $\dim_{\mathbb{F}_p} N_{E/F}k_mE$，即 $k_mE$ 上范数映射像的维数。
• 对于 $0 < i < n$，$Y_i$ 的秩为 $\dim_{\mathbb{F}_p} N_{E_i/F}k_mE_i / N_{E_{i+1}/F}k_mE_{i+1}$，即范数像商的维数。
• 对于 $i=0$，$Y_0$ 是 $R_s$ 上的自由模，秩为 $\dim_{\mathbb{F}_p} k_mF / N_{E_1/F}k_mE_1$，且具有平凡 $G$-作用。
• 完成 $\widehat{K_mE} = \varprojlim_s K_mE/p^sK_mE$ 同构于 $\oplus_{i=0}^n \hat{Y}_i$，其中每个 $\hat{Y}_i$ 是 $\mathbb{Z}_pG_i$-模，其秩与 $Y_i$ 相同。
• 构造了显式例子，其中所有自由直和项 $Y_i$ 均非零，表明所有维数 $p^i$（$i=0,1,\dots,n$）均可作为 $k_mE$ 中不可约直和项的维数出现。