[论文解读] GAPS: Generator for Automatic Polynomial Solvers

Bo Li, Viktor Larsson|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 11被引用 4

一句话总结

GAPS 是一个软件框架，通过在有限域上预计算格罗布纳基结构，提升计算机视觉中多项式系统自动求解器的生成效率，实现基于线性代数的高效在线求解。相比 autogen，它在易用性、稳定性和功能性方面均有改进，支持通过符号计算和系数模板复用，快速生成高性能的极小问题求解器。

ABSTRACT

Minimal problems in computer vision raise the demand of generating efficient automatic solvers for polynomial equation systems. Given a polynomial system repeated with different coefficient instances, the traditional Gröbner basis or normal form based solution is very inefficient. Fortunately the Gröbner basis of a same polynomial system with different coefficients is found to share consistent inner structure. By precomputing such structures offline, Gröbner basis as well as the polynomial system solutions can be solved automatically and efficiently online. In the past decade, several tools have been released to generate automatic solvers for a general minimal problems. The most recent tool autogen from Larsson et al. is a representative of these tools with state-of-the-art performance in solver efficiency. GAPS wraps and improves autogen with more user-friendly interface, more functionality and better stability. We demonstrate in this report the main approach and enhancement features of GAPS. A short tutorial of the software is also included.

研究动机与目标

• 为解决计算机视觉中重复出现但系数变化的多项式系统传统格罗布纳基计算效率低下的问题。
• 改进现有工具（如 autogen 和 Automatic Generator），提升易用性、稳定性和功能性。
• 通过在有限域算术中离线预计算结构不变量，实现多项式系统的高效在线求解。
• 提供一个用户友好且可扩展的框架，用于生成计算机视觉中极小问题的自动求解器。
• 通过符号接口和数值接口，灵活支持有限域和实系数实例的问题定义。

提出的方法

• 通过在有限素域 $\mathbb{Z}_p$ 上实例化多项式系统，预计算格罗布纳基结构，避免数值不稳定性。
• 在 $\mathbb{Z}_p$ 中采用随机系数采样，计算多个格罗布纳基，并收集其标准型中所有单项式的并集，以推断完整结构。
• 从多项式组合 $\tilde{F} = \{m \cdot f \mid f \in F, m \in \mathsf{M}\}$ 构建模板矩阵，其中 $\mathsf{M}$ 是预先计算的单项式集合。
• 对模板矩阵应用行最简形（RREF），提取非零行作为格罗布纳基。
• 通过利用商环 $\mathbb{K}[X]/I$ 的已知结构，制定基于特征值求解的系数矩阵。
• 通过 `abbr_subs` 支持用户自定义替换，优化系数计算并避免冗余符号表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使格罗布纳基计算在计算机视觉中重复出现但系数变化的多项式系统上更高效且稳定？
• RQ2 在 $\mathbb{Z}_p$ 上计算的格罗布纳基结构不变量，在多大程度上可被复用于求解 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上的系统？
• RQ3 通过封装和扩展如 autogen 等现有工具，能在易用性、稳定性和功能性方面实现哪些改进？
• RQ4 如何将符号计算与有限域算术整合到一个实用的自动求解器生成软件框架中？
• RQ5 基于模板的系数计算与替换缓存对求解器生成性能有何影响？

主要发现

• GAPS 通过在 $\mathbb{Z}_p$ 上预计算格罗布纳基结构，实现多项式系统的高效在线求解，将在线计算简化为求解线性系统。
• 在多个 $\mathbb{Z}_p$ 实例中标准型的并集可可靠恢复原始系统在 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上的完整标准集结构。
• 在系数模板矩阵上应用 RREF 可直接提取格罗布纳基，无需在原始域中进行符号格罗布纳基计算。
• 该框架通过符号参数（`in_subs`, `out_subs`）和优化的替换结构（`abbr_subs`）支持灵活的问题建模，减少冗余计算。
• GAPS 提供稳定且用户友好的接口用于求解器生成，通过参数化旋转和已知条件的 4 点相对姿态问题得到验证。
• 软件通过 `rand_arg_rl` 和 `rand_arg_zp` 方法分别支持实数域和有限域实例的无缝基准测试生成。