[论文解读] Gauge Fields in Causal Set Theory

Roman Sverdlov|ArXiv.org|Jul 13, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文通过将杨-米尔斯拉格朗日量用全息变换、因果关系和时空体积表示，在因果集理论中构建了规范场，实现了对耦合带电标量场的 SU(n) 规范理论的离散、组合描述。此外，提出了一种类卡鲁扎-克莱因模型，其中规范动力学源于紧化几何，提供了一种无需显式规范连接的引力耦合作用量。

ABSTRACT

This is the second paper in a series on the dynamics of matter fields in the causal set approach to quantum gravity. We start with the usual expression for the Lagrangian of a charged scalar field coupled to a SU(n) Yang-Mills field, in which the gauge field is represented by a connection form, and show how to write it in terms of holonomies between pairs of points, causal relations, and volumes or timelike distances, all of which have a natural correspondence in the causal set context. In the second part of the paper we present an alternative model, in which the gauge field appears as the result of a procedure inspired by the Kaluza-Klein reduction in continuum field theory, and the dynamics can be derived simply using the gravitational Lagrangian of the theory.

研究动机与目标

• 在量子引力的因果集方法中，发展 SU(n) 规范场与带电标量场的离散、组合表述。
• 通过用因果集元素之间的全息变换替代规范连接，消除对微分时空结构的依赖。
• 仅利用因果关系、类时距离和体积，推导出杨-米尔斯理论的因果集作用量。
• 探索一种类卡鲁扎-克莱因模型，其中规范场源于因果集框架中的紧化维度。
• 实现在固定因果集上对规范场进行路径积分量化，避免因度规动力学变化带来的问题。

提出的方法

• 通过全息变换 $ f(p,q) = \mathrm{P} \exp\left( \mathrm{i}e \int_{\gamma(p,q)} A_\mu^k T^k dx^\mu \right) $ 表征规范场，该变换编码了因果集中点 $ p $ 与 $ q $ 之间的平行移动。
• 用涉及 $ \phi(q) - \phi(p) $ 的离散差分替代连续时空导数，其缩放因子为 $ \tau(p,q)^2 $，其中 $ \tau $ 为洛伦兹距离。
• 利用亚历山大罗夫集 $ \alpha(p,q) $ 的体积 $ V(p,q) $ 通过 $ V(p,q) = \frac{c_{d-1}}{2^{d-1}d} \tau^d(p,q) $ 定义 $ \tau(p,q) $，从而实现因果集中的实现。
• 通过借鉴先前工作的无电荷克莱因-戈登作用量，引入全息修正，推导出带电标量场的因果集作用量。
• 提出一种类卡鲁扎-克莱因模型，其中规范场源于第五维，度规分量 $ g_{\mu d} $ 编码规范势。
• 利用两点函数 $ d(p,q) $ 构造作用量，该函数表示紧化维度中的相位移，并通过 $ d(p,q) = 0 $ 当 $ p \not\prec q $ 来强制因果结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖微分时空结构的前提下，将耦合带电标量场的 SU(n) 规范场动力学表述为离散、组合框架？
• RQ2 因果集元素之间的全息变换能否完全替代杨-米尔斯拉格朗日量中的规范连接？
• RQ3 因果集中的卡鲁扎-克莱因机制类比是什么？如何通过几何紧化再现规范动力学？
• RQ4 在度规非动力学的情况下，如何在固定因果集上为规范场定义路径积分？
• RQ5 亚历山大罗夫集的体积与因果结构在重建连续场论可观测量中起什么作用？

主要发现

• 带电标量场的因果集作用量以全息变换 $ f(p,q) $、因果关系 $ p \prec q $ 和体积 $ V(p,q) $ 表示，显式依赖于 $ \tau(p,q) $ 和嵌入密度 $ \rho $。
• 杨-米尔斯拉格朗日量成功地仅用全息变换和因果集结构重写，完全避免了对时空指标或微分连接的依赖。
• 类卡鲁扎-克莱因模型将规范场实现为度规分量 $ g_{\mu d} $，两点函数 $ d(p,q) $ 编码了紧化维度中的相位移。
• 在类卡鲁扎-克莱因模型中，$ d(p,q) $ 的物理意义被识别为 $ g_{dd} $，路径积分必须使用 $ \mathrm{d}f(p,q)/\mathrm{d}\tau(p,q) $ 以考虑度规对规范场的依赖。
• 该模型表明，两点函数 $ f(p,q) $ 同时负责规范理论中的相位移和亚历山大罗夫集体积中的光锥位移，暗示几何效应与规范效应之间存在深刻统一。
• 本文表明，卡鲁扎-克莱因理论可在因果集中被量化，而无需量化引力，从而避免了连续形式中常见的重整化问题。