[论文解读] Gauge-Invariant Localization of Infinitely Many Gravitational Energies from all Possible Auxiliary Structures, Or, Why Pseudotensors are Okay

J. Brian Pitts|ArXiv.org|Oct 17, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过提出一种由所有可能坐标系和辅助结构（例如平坦背景度规）中所有赝张量能量-动量构成的无限分量协变对象，解决了广义相对论中引力能量-动量规范不变局域化的长期难题。关键结果是，该集合具有规范不变性，并等价于爱因斯坦方程，从而表明当整体理解而非单独看待时，赝张量具有物理意义。

ABSTRACT

The problem of finding a covariant expression for the distribution and conservation of gravitational energy-momentum dates to the 1910s. A suitably covariant infinite-component localization is displayed, reflecting Bergmann's realization that there are infinitely many conserved gravitational energy-momenta. Initially use is made of a flat background metric or connection (or rather, all of them), because the desired gauge invariance properties are obvious. Partial gauge-fixing then yields an appropriate covariant quantity without any background metric or connection; one version is the collection of pseudotensors of a given type, such as the Einstein pseudotensor, in_every_ coordinate system. This solution to the gauge covariance problem is easily adapted to any pseudotensorial expression or to any tensorial expression built with a background metric or connection. Thus the specific functional form can be chosen on technical grounds such as relating to Noether's theorem and yielding expected values of conserved quantities in certain contexts and then rendered covariant using the procedure described here. The application to angular momentum localization is straightforward. Traditional objections to pseudotensors are based largely on the false assumption that there is only one gravitational energy rather than infinitely many.

研究动机与目标

• 解决广义相对论中引力能量-动量规范不变局域化的长期难题。
• 通过证明所有此类赝张量的集合具有规范不变性，回应传统观点中认为赝张量因坐标依赖而无物理意义的批评。
• 证明当所有赝张量能量-动量的无限集合被整体考虑时，可产生一个物理上有意义的协变守恒律。
• 表明当所有此类辅助结构（例如平坦背景度规）一并包含时，使用辅助结构并非根本性问题。
• 并非将赝张量视为孤立的无物理意义的量，而是将其验证为更广泛、物理一致的无限分量协变对象的组成部分。

提出的方法

• 本文通过收集所有可能坐标系及辅助结构（例如平坦背景度规）中的所有赝张量能量-动量，构建一个规范不变、无限分量的物体。
• 其原理在于：所有可能背景度规（或联络、 tetrad 等）的集合在任一单个选择改变下保持不变，从而消除了规范依赖性。
• 该方法依赖于这样一个事实：尽管单个赝张量依赖于坐标，但所有坐标下赝张量的完整集合在坐标变换下保持不变。
• 它应用诺特定理表明，所有赝张量守恒律的无限集合整体上蕴含爱因斯坦方程。
• 该方法可推广至任何基于背景结构构建的赝张量或张量表达式，使得技术选择（例如使用爱因斯坦或朗道-利夫希茨赝张量）可基于物理或计算便利性进行。
• 该方法被扩展至角动量，通过在所有坐标系中构造角动量密度的类似无限分量物体。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在广义相对论中以既规范不变又协变的方式实现引力能量-动量的局域化？
• RQ2 为何传统上因坐标依赖而受批评的赝张量，在整体考虑时实际上具有物理可接受性？
• RQ3 能否将引力能量-动量的无限集合统一为一个单一、物理上有意义、协变的物体？
• RQ4 是否存在一种方法，可调和多个赝张量的存在与物理一致性及不变性的要求之间的矛盾？
• RQ5 赝张量的集体行为如何与完整的爱因斯坦场方程相关联？

主要发现

• 所有坐标系中赝张量能量-动量的集合构成一个规范不变、无限分量、协变的物体。
• 该无限分量物体等价于爱因斯坦场方程，意味着由完整集合所蕴含的守恒律在数学上等价于场方程。
• 当所有此类辅助结构（如平坦背景度规）一并包含时，使用辅助结构不会破坏规范不变性。
• 对赝张量的传统批评——如其坐标依赖性或在某些坐标系中消失（例如薛定谔的情形）——通过认识到单个赝张量并非最终的物理对象，而是更大不变结构的组成部分而得以解决。
• 该方法不仅适用于能量-动量，也适用于角动量，其中类似的无限分量物体满足协变守恒律。
• 该方法验证了赝张量作为物理上有意义的量，前提是将其理解为更广泛、不变且协变框架中的组成部分，而非孤立的量。