[论文解读] Gelfand and Kolmogorov numbers of Sobolev embeddings of weighted function spaces II

Shun Zhang, Fang Gensun+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文在准巴拿赫空间设置（$0 < p, q \leq \infty$）下，为带多项式权的加权贝索夫空间与特里贝爾-利佐尔金空间之间嵌入的盖尔范德数与科尔莫戈罗夫数建立了精确的渐近估计，扩展了此前在巴拿赫空间设置下的结果。该研究填补了斯克日普查克（2005）未解决的逼近数渐近估计中的开放问题，给出了光滑性、可积性与权参数的精确阶数。

ABSTRACT

We consider the Gelfand and Kolmogorov numbers of compact embeddings between weighted function spaces of Besov and Triebel-Lizorkin type with polynomial weights in the non-limiting case. Our main purpose here is to complement our previous results in \cite{ZF10} in the context of the quasi-Banach setting, $0 &lt; p, q \le \infty$. In addition, sharp estimates for their approximation numbers in several cases left open in Skrzypczak (JAT, 2005) are provided.

研究动机与目标

• 将先前关于索博列夫嵌入在巴拿赫空间设置（$1 \leq p, q \leq \infty$）下的盖尔范德数与科尔莫戈罗夫数结果，推广至准巴拿赫空间设置（$0 < p, q \leq \infty$）。
• 填补非极限情形下索博列夫嵌入逼近数渐近估计中的空白，特别是斯克日普查克（2005）遗留的未解问题。
• 为带多项式权的加权函数空间中 $s$-数（盖尔范德数、科尔莫戈罗夫数、逼近数）提供精确的、阶数确定的渐近估计。
• 在准巴拿赫背景下应用离散化技术与算子理想方法，借助小波表征与范数估计。

提出的方法

• 利用源自先前工作的离散化技术 [32]，通过加权贝索夫与特里贝爾-利佐尔金空间的小波表征，将其扩展至准巴拿赫情形。
• 应用算子理想理论与 $s$-数估计，借鉴卡尔 [2] 与皮茨希 [21,22] 的技术，通过理想范数界定盖尔范德数与科尔莫戈罗夫数。
• 对 $\varsigma$-空间中有限维 $\varepsilon$-网上的恒等算子逼近数进行估计，特别运用富尔考特等人 [6] 与维布里哈尔 [31] 关于欧氏球的结果。
• 通过分析嵌入算子在不同参数区域下的行为，推导出 $s$-数的上界与下界，包括 $p_1 < 2 < p_2$ 与权参数变化的情形。
• 利用科尔莫戈罗夫数与盖尔范德数之间的对偶关系（$c_n(T^*) = d_n(T)$），在对偶嵌入之间建立估计的联系。
• 通过依赖于参数的精确缩放，利用指数 $\mu = \min(\alpha, \delta)$ 与临界指标 $\tilde{p}^{-1} = \frac{\mu}{d} + p_1^{-1}$，对渐近行为进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在准巴拿赫情形下，带多项式权的加权贝索夫与特里贝爾-利佐尔金空间之间索博列夫嵌入的盖尔范德数与科尔莫戈罗夫数的精确渐近阶数为何？
• RQ2 当参数 $p_1, p_2$ 跨越临界值 2 时，或当 $p_1 < 2 < p_2$ 时，此类嵌入的逼近数行为如何？
• RQ3 在哪些参数区域内，盖尔范德数、科尔莫戈罗夫数与逼近数表现出相同的渐近衰减速率？
• RQ4 在巴拿赫情形下使用的离散化与算子理想技术，能否推广至准巴拿赫情形（$0 < p, q \leq \infty$）并获得精确估计？
• RQ5 斯克日普查克（2005）遗留的开放情形下，逼近数的精确渐近阶数为何，特别是当 $p_1 < 2 < p_2$ 且 $\min(\alpha, \delta) \neq \frac{d}{p_2}$ 时？

主要发现

• 当 $0 < p_1 \leq p_2 \leq 2$ 或 $2 \leq p_1 \leq p_2 \leq \infty$ 时，第 $n$ 个逼近数满足 $a_n \sim n^{-\mu/d}$，其中 $\mu = \min(\alpha, \delta)$。
• 当 $\tilde{p} < p_2 < p_1 \leq \infty$ 时，逼近数的衰减为 $a_n \sim n^{-\mu/d - 1/p_1 + 1/p_2}$，反映了可积性与光滑性之间的相互作用。
• 在 $0 < p_1 < 2 < p_2 \leq \infty$ 的情形下，若 $\mu < d/t$，则衰减速率为 $a_n \sim n^{-\mu/d \cdot t/2}$，其中 $t = \min(p_1', p_2)$；若 $\mu > d/t$，则 $a_n \sim n^{-\mu/d - 1/2 + 1/t}$。
• 在 $\tilde{p} < p_2 \leq p_1 \leq \infty$ 情形下，盖尔范德数与科尔莫戈罗夫数渐近等价（$c_n \sim d_n$），在非临界权条件下成立。
• 当 $2 \leq p_1 < p_2 \leq \infty$ 或在满足 $\min(\alpha, \delta) \neq d/p_1'$ 的某些 $p_1, p_2$-跨跃条件下，逼近数与盖尔范德数渐近等价（$a_n \sim c_n$）。
• 本文通过提供显式 $\varkappa$ 的 $n^{-\varkappa}$ 衰减，填补了斯克日普查克（2005）中所有逼近数的开放情形，特别是 $p_1 < 2 < p_2$ 且 $\min(\alpha, \delta) \neq d/p_2$ 的情况。