[论文解读] Gelfand-Shilov spaces, Structural and Kernel theorems

Zagorka Lozanov-Crvenković, D. Perišić+1 more|ArXiv.org|Jun 15, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 17

一句话总结

本文利用谐振子本征函数和傅里叶-赫尔米特系数表征，建立了罗米乌类型与博尔丁类型盖尔范德-希洛夫空间的结构定理与核定理。证明了对偶空间中的任一分布均可表示为有界函数的导数之和，且任意此类空间之间的连续线性算子均可由更大盖尔范德-希洛夫空间中唯一的核实现，从而在具有基本长度的伪微分算子与量子场论中具有应用价值。

ABSTRACT

It was shown recently that the space isomorphic with an Gelfand Shilov space is well adapted for the use in quantum field theory with a fundamental length. It is our believe that all Gelfand Shilov spaces, especially those with quasianalytic test function spaces, are good domains for the quantum field theory. The theory requires technical results from the theory of generalized functions and not merely differential calculus and well defined Fourier transform, but also the kernel theorem and the structural theorem. In the paper we give the structural (regularity) theorem and kernel theorem for Gelfand-Shilov spaces, of Roumieu and Beurling type.

研究动机与目标

• 建立罗米乌型与博尔丁型盖尔范德-希洛夫空间结构定理与核定理的统一、初等证明。
• 证明这些空间适用于量子场论，特别是具有基本长度标度的情形。
• 将伪微分算子理论与外尔变换的理论推广至经典盖尔范德-希洛夫空间之外的广义盖尔范德-希洛夫空间，超越经典盖尔范德情形。
• 通过拟解析与非拟解析序列，为缓增超函数与超函数提供一个框架。

提出的方法

• 利用谐振子本征函数（即埃尔米特函数）作为对偶空间中分布表示的基。
• 采用朗根布鲁赫及作者独立研究所得的盖尔范德-希洛夫函数傅里叶-赫尔米特系数表征。
• 应用西蒙斯的思想，通过算子 $ \left(-\frac{d^2}{dx^2} + x^2 - 1\right)^\beta $ 将分布表示为涉及有界函数导数的级数。
• 使用范数 $ \|\varphi\|_{{\mathcal{S}}^{M_p},m} = \sup_{\alpha,\beta} \frac{m^{|\alpha|+|\beta|}}{M_{|\alpha|}M_{|\beta|}} \|(1+x^2)^{\beta/2}\varphi^{(\alpha)}(x)\|_{L^\infty} $ 定义盖尔范德-希洛夫空间。
• 通过投影极限与归纳极限结构，分别定义 $ {\mathcal{S}}^{(M_p)} $ 与 $ {\mathcal{S}}^{\{M_p\}} $。
• 依赖条件 (M.1)、(M.2)、(M.3)" 与 (M.3)"’ 以确保空间非平凡，并在傅里叶变换与微分下封闭。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅用最小的实分析工具，统一证明盖尔范德-希洛夫空间在拟解析与非拟解析情形下的结构定理？
• RQ2 任意两个盖尔范德-希洛夫空间之间的连续线性算子是否均能由更大盖尔范德-希洛夫空间中唯一的核实现，如同核定理所述？
• RQ3 由一般序列 $ \{M_p\} $ 生成的盖尔范德-希洛夫空间是否可将海森堡群的表示与外尔变换推广，而不仅限于盖尔范德序列？
• RQ4 谐振子本征函数在刻画盖尔范德-希洛夫空间对偶空间中分布的角色为何？
• RQ5 非平凡性条件 (M.3)" 与 (M.3)"’ 如何影响这些空间在量子场论中的结构与适用性？

主要发现

• 任一分布 $ T \in {\mathcal{S}}^{\{M_p\}}' $ 可表示为 $ T = \sum_{\beta=0}^{\infty} \frac{\mu^{2\beta}}{M_{2\beta}} \frac{1}{2^\beta} \left(-\frac{d^2}{dx^2} + x^2 - 1\right)^\beta f $，其中 $ \mu > 0 $ 且 $ f $ 为有界连续函数，从而证明了结构定理。
• 任意从 $ {\mathcal{S}}^{\{M_p\}}({\mathbb{R}}^l)_x $ 到 $ {\mathcal{S}}^{\{M_p\}}'({\mathbb{R}}^s)_y $ 的连续线性映射 $ \mathcal{K} $ 均可由唯一核 $ K \in {\mathcal{S}}^{\{M_p\}}'({\mathbb{R}}^{l+s})_{x,y} $ 表示，从而确认了核定理。
• 盖尔范德-希洛夫空间 $ {\mathcal{S}}^{\{M_p\}} $ 与 $ {\mathcal{S}}^{(M_p)} $ 包含经典空间如 $ {\mathcal{S}}^\alpha_\alpha $、$ \mathcal{F} $、$ \mathcal{G} $ 与皮利波维奇空间，且在傅里叶变换与微分下封闭。
• $ {\mathcal{S}}^{\{p!\}} $ 同构于傅里叶超函数的测试空间，适用于具有基本长度的量子场论。
• 条件 (M.3)’ 是非拟解析性的充要条件；若该条件不成立，则空间由超函数而非缓增超函数构成。
• 最小的非平凡盖尔范德-希洛夫空间为 $ {\mathcal{S}}^{1/2}_{1/2} $，而最小的非平凡皮利波维奇空间 $ \sum_{\alpha}^{\alpha} $ 在 $ \alpha = 1/2 $ 时不存在，但在 $ \alpha > 1/2 $ 时存在。