[论文解读] General existence and uniqueness of viscosity solutions for impulse control of jump-diffusions

Roland C. Seydel|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文通过随机方法证明存在性、通过粘性解理论证明唯一性，建立了跳跃扩散过程中脉冲控制所引发的哈密顿-雅可比-贝尔曼拟变分不等式（HJBQVI）的广义存在性与唯一性。这是首个在粘性解框架下严格处理具有无限活动跳跃的脉冲控制问题的研究，允许解无界且成本函数为二次型，且无需事先假设值函数的连续性。

ABSTRACT

General theorems for existence and uniqueness of viscosity solutions for Hamilton-Jacobi-Bellman quasi-variational inequalities (HJBQVI) with integral term are established. Such nonlinear partial integro-differential equations (PIDE) arise in the study of combined impulse and stochastic control for jump-diffusion processes. The HJBQVI consists of an HJB part (for stochastic control) combined with a nonlocal impulse intervention term. Existence results are proved via stochastic means, whereas our uniqueness (comparison) results adapt techniques from viscosity solution theory. This paper is to our knowledge the first treating rigorously impulse control for jump-diffusion processes in a general viscosity solution framework; the jump part may have infinite activity. In the proofs, no prior continuity of the value function is assumed, quadratic costs are allowed, and elliptic and parabolic results are presented for solutions possibly unbounded at infinity.

研究动机与目标

• 建立联合随机与脉冲控制问题中HJBQVI粘性解的广义存在性与唯一性框架。
• 处理具有无限活动跳跃的跳跃扩散过程，包括在原点处跳跃测度奇异的Lévy过程。
• 消除以往方法中对值函数事先连续性的假设。
• 在椭圆与抛物型情形下，允许二次成本及无穷远处的无界解。
• 为涉及交易成本与市场摩擦的金融与保险应用提供稳健的理论基础。

提出的方法

• 使用随机控制方法与动态规划原理证明粘性解的存在性。
• 将粘性解技术适配以处理HJBQVI中非局部的脉冲干预项。
• 利用粘性解的比较原理建立唯一性，即使值函数事先不连续亦可。
• 通过随机连续性与一致估计控制受控过程的首次退出时间与收敛性。
• 通过构造具有更高波动性的支配过程，建立统一收敛性，确保概率意义上的一致收敛。
• 将理论应用于抛物型与椭圆型HJBQVI，涵盖无界区域与无界解的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设值函数连续性的前提下，为跳跃扩散过程中脉冲控制的HJBQVI建立粘性解的存在性与唯一性？
• RQ2 该理论如何扩展以包含无限活动跳跃过程，其中Lévy测度在原点处奇异？
• RQ3 该框架能否容纳二次成本及无穷远处的无界解？
• RQ4 在初始条件弱收敛的条件下，受控过程的首次退出时间在何种条件下以概率收敛？
• RQ5 在存在跳跃的情况下，如何将比较原理适配以处理非局部脉冲算子？

主要发现

• 通过随机方法证明了粘性解的存在性，无需事先假设值函数连续。
• 通过适配于非局部HJBQVI结构的比较原理，即使对无界解也建立了唯一性。
• 该框架可处理具有无限活动跳跃的跳跃扩散过程，包括在原点处Lévy测度奇异的情形。
• 成本泛函中允许二次成本，且值函数在无穷远处可为无界。
• 在初始条件弱收敛下，受控过程的首次退出时间以概率收敛，该结论通过一致随机连续性估计得以证明。
• 研究结果为涉及交易成本与联合随机与脉冲控制的金融与保险应用提供了严格的理论基础。