[论文解读] General Probabilistic Framework of Randomness

Elena R. Loubenets|ArXiv.org|May 21, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文提出一个通用的概率框架，通过在初始信息态空间上对实验进行广义可观测量建模，统一了经典概率论与量子测量理论。证明了任何非破坏性实验都会引发态约化现象，推广了冯·诺依曼的量子坍缩，并确立了量子统计模型无法还原为柯尔莫哥洛夫模型的不可约性。

ABSTRACT

We introduce a new mathematical framework for the probabilistic description of an experiment upon a system of any type in terms of initial information representing this system. Based on the notions of an information state, an information state space and a generalized observable, this general framework covers the description of a wide range of experimental situations including those where, with respect to a system, an experiment is perturbing. We prove that, to any experiment upon a system, there corresponds a unique generalized observable on a system initial information state space, which defines the probability distribution of outcomes under this experiment. We specify the case where initial information on a system provides "no knowledge" for the description of an experiment. Incorporating in a uniform way the basic notions of conventional probability theory and the non-commutativity aspects and the basic notions of quantum measurement theory, our framework clarifies the principle difference between Kolmogorov's model in probability theory and the statistical model of quantum theory. Both models are included into our framework as particular cases. We show that the phenomenon of "reduction" of a system initial information state is inherent, in general, to any non-destructive experiment and upon a system of any type. Based on our general framework, we introduce the probabilistic model for the description of non-destructive experiments upon a quantum system and prove that positive bounded linear mappings on the Banach space of trace class operators, arising in the description of experiments upon a quantum system, are completely positive.

研究动机与目标

• 通过提供一个统一的数学框架，解决柯尔莫哥洛夫概率论与量子统计模型之间的基础性矛盾。
• 通过初始信息态和广义可观测量的形式化描述实验（尤其是扰动实验）。
• 通过将两者作为单一框架中的特例嵌入，阐明经典与量子概率模型之间的根本差异。
• 确立信息态约化现象作为非破坏性实验的一般特征，而不仅限于量子系统。
• 证明量子广义可观测量无法还原为柯尔莫哥洛夫模型，从而验证了量子概率的非经典性质。

提出的方法

• 引入信息态空间的概念，作为描述系统初始知识的基础。
• 将广义可观测量定义为信息态空间上的正算子值测度（POVMs），与每个实验唯一关联。
• 使用均值信息态仪器在巴拿赫空间设定下描述非破坏性实验的完整统计描述。
• 应用条件后验均值信息态的概念，对测量后系统知识的动态变化进行建模。
• 证明量子广义可观测量对应于取值在迹类算子上非负有界线性泛函的σ-可加测度。
• 证明量子态仪器是完全正映射，推广了量子测量过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个单一的概率框架，能够统一经典与量子实验描述，同时保留其各自特征？
• RQ2 非破坏性实验中信息态约化的数学结构是什么？
• RQ3 为何量子统计模型无法还原为柯尔莫哥洛夫概率模型？其不可约性的正式条件是什么？
• RQ4 广义可观测量如何以统一方式表示非扰动和扰动实验？
• RQ5 可及量（beables）在区分经典非扰动测量与一般量子测量中起什么作用？

主要发现

• 任何对系统的实验都对应于其初始信息态空间上的唯一广义可观测量，建立了实验与概率结构之间的一一对应关系。
• 信息态约化现象是所有非破坏性实验的内在特征，推广了冯·诺依曼的量子态坍缩，超越了量子领域。
• 柯尔莫哥洛夫模型无法产生量子广义可观测量的性质，证明了量子统计模型无法还原为经典概率论。
• 在量子情形下，广义可观测量由取值在希尔伯特空间上非负有界线性算子的σ-可加测度表示，对应于POVMs。
• 量子态仪器是完全正映射，确认其与量子操作数学结构的一致性。
• 可及量描述非扰动实验的确定性设置，仅此类实验与柯尔莫哥洛夫模型完全兼容，凸显了经典与量子测量之间的根本区别。