[论文解读] Generalisations of Capparelli's and Primc's identities, II: perfect $A_{n-1}^{(1)}$ crystals and explicit character formulas

Jehanne Dousse, Isaac Konan|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了广义分拆恒等式与 $A_{n-1}^{(1)}$ 仿射李代数的晶体基理论之间的联系，表明其 $n^2$-着色分拆恒等式中的差值条件对应于完美晶体上的能量函数。通过引入基底分拆，推导出所有一级不可约最高权模的非特殊化特征标公式，其系数显式为正，恢复了 Kac-Peterson 公式，并以基本根的形式给出了新的无穷乘积表达式。

ABSTRACT

In the first paper of this series, we gave infinite families of coloured partition identities which generalise Primc's and Capparelli's classical identities. In this second paper, we study the representation theoretic consequences of our combinatorial results. First, we show that the difference conditions we defined in our $n^2$-coloured generalisation of Primc's identity, which have a very simple expression, are actually the energy function with values in $\{0,1,2\}$ for the perfect crystal of the tensor product of the vector representation and its dual in $A_{n-1}^{(1)}$. Then we introduce a new type of partitions, grounded partitions, which allows us to retrieve connections between character formulas and partition generating functions without having to perform a specialisation. Finally, using the formulas for the generating functions of our generalised partitions, we recover the Kac-Peterson character formula for the characters of all the irreducible highest weight $A_{n-1}^{(1)}$-modules of level $1$, and give a new character formula as a sum of infinite products with obviously positive coefficients in the generators $e^{- α_i} \ (i \in \{0, \dots , n-1\}),$ where the $α_i$'s are the simple roots.

研究动机与目标

• 将 Capparelli 和 Primc 的恒等式通过 $n^2$-着色分拆与差值条件推广至 $A_{n-1}^{(1)}$。
• 将这些差值条件识别为 $A_{n-1}^{(1)}$ 中向量表示及其对偶的张量积的完美晶体上的能量函数。
• 引入基底分拆以避免特殊化，直接关联生成函数与特征标公式。
• 推导出所有一级不可约最高权 $A_{n-1}^{(1)}$-模的非特殊化特征标公式，其系数显式为正。
• 恢复 Kac-Peterson 特征标公式，并以 $e^{-\alpha_i}$ 的生成元形式给出新的无穷乘积表达式。

提出的方法

• 定义基于 $A_{n-1}^{(1)}$ 的 $V \otimes V^*$ 的完美晶体上能量函数导出的差值条件的 $n^2$-着色分拆。
• 引入基底分拆以在不需主特殊化的情况下保持生成函数的结构。
• 使用 (KMN)2 晶体基特征标公式，将这些分拆的生成函数与不可约最高权模的特征标联系起来。
• 通过能量函数计算验证差值条件与 $V \otimes V^*$ 的晶体结构一致。
• 对晶体算子 $\tilde{f}_i$ 进行显式路径分析，以计算能量函数并验证差值条件。
• 使用区间算术与特征函数计算能量值，并验证公式 $\Delta(a_k b_l; a_{k'} b_{l'})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $A_{n-1}^{(1)}$ 中，$n^2$-着色分拆恒等式中的差值条件如何与 $V \otimes V^*$ 的完美晶体上的能量函数相关联？
• RQ2 基底分拆是否可用于在不进行特殊化的情况下推导特征标公式，同时保持生成函数的结构？
• RQ3 是否可以为所有一级不可约最高权 $A_{n-1}^{(1)}$-模推导出具有显式正系数的非特殊化特征标公式？
• RQ4 $V \otimes V^*$ 的完美晶体上的能量函数如何编码广义分拆恒等式的组合结构？
• RQ5 Kac-Peterson 特征标公式是否可被恢复，并以 $e^{-\alpha_i}$ 的正系数无穷乘积之和形式重新表达？

主要发现

• 证明了 $n^2$-着色分拆恒等式中的差值条件等价于 $A_{n-1}^{(1)}$ 的 $V \otimes V^*$ 的完美晶体上取值于 \{0,1,2\} 的能量函数。
• 引入基底分拆作为组合工具，以避免特殊化，并直接将生成函数与特征标公式关联。
• 广义分拆的生成函数导出所有一级不可约最高权 $A_{n-1}^{(1)}$-模的非特殊化特征标公式，其系数显式为正。
• 通过这种分拆理论方法，恢复了 Kac-Peterson 对一级模的特征标公式。
• 推导出一个新的特征标公式，其形式为 $e^{-\alpha_i}$ 生成元的正系数无穷乘积之和，其中 $\alpha_i$ 为 $A_{n-1}^{(1)}$ 的基本根。
• 通过晶体算子上的路径分析验证了能量函数的计算，确认了差值条件与晶体结构的一致性。