[论文解读] Generalised Brownian bridges: examples

Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文研究由时变漂移项定义的广义布朗桥过程，表明当漂移参数 $ c \neq 1 $ 时，所得测度 $ \nu^{(c)} $ 相对于经典布朗桥测度 $ \nu^{(1)} $ 是奇异的，尽管当 $ c > \frac{1}{2} $ 时两者具有相同的 Cameron-Martin 空间 $ H_{0,0} $。此外，本文通过满足 Novikov 型可积性条件的扰动构造了等价测度的实例。

ABSTRACT

We observe that the probability distribution of the Brownian motion with drift $-c \frac x {1-t}$ where $c ot =1$ is singular with respect to that of the classical Brownian bridge measure on $[0,1]$, while their Cameron-Martin spaces are equal set-wise if and only if $c> \frac 12$, providing also examples of exponential martingales on $[0,1)$ not extendable to a continuous martingale on $[0,1]$. Other examples of generalised Brownian bridges are also studied.

研究动机与目标

• 分析由时变漂移项驱动的 SDE 所诱导的广义布朗桥测度之间的等价性或奇异性的目标。
• 研究尽管测度不同，这些测度何时仍共享相同的 Cameron-Martin 空间。
• 构造广义桥测度与经典布朗桥测度等价的显式例子。
• 探讨在非经典桥测度背景下，是否存在在 $[0,1)$ 上定义的指数鞅无法连续延拓至 $[0,1]$ 的情形，通过奇异测度实现。
• 阐明 Cameron-Martin 定理与 Girsanov 型变换在非经典桥测度背景下的作用。

提出的方法

• 分析在 $[0,1)$ 上定义的 SDE $ dz_t = dB_t - \frac{c}{1-t} z_t \, dt $，其在 $ C_{0,0}([0,1]; \mathbb{R}^n) $ 上生成高斯测度 $ \nu^{(c)} $。
• 比较 $ \nu^{(c)} $ 与 $ \nu^{(1)} $ 的 Cameron-Martin 空间，表明二者作为集合相等当且仅当 $ c > \frac{1}{2} $。
• 利用 Cameron-Martin 定理与 Hilbert-Schmidt 算子理论，通过分析算子 $ R^{-1/2} R_c R^{-1/2} $ 来评估等价性，其中 $ R $ 与 $ R_c $ 分别为协方差算子。
• 应用 Novikov 准则验证 Radon-Nikodym 导数 $ \frac{d\nu_2}{d\nu^{(1)}} $ 的一致可积性，从而在有界漂移扰动下确保等价性。
• 推导密度过程 $ \exp\left( \int_0^t \langle dB_s, \frac{f(s,z_s)}{(1-s)^\delta} \rangle - \frac{1}{2} \int_0^t \frac{|f(s,z_s)|^2}{(1-s)^{2\delta}} ds \right) $，其在 $ t \to 1 $ 时依 $ L^1 $ 收敛。
• 利用 Fernique 定理建立 $ \sup_{t \leq 1} |z_t|^2 $ 的指数可积性，以支持 Novikov 条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有漂移项 $ -\frac{c}{1-t} z_t $ 的广义布朗桥的分布与经典布朗桥测度等价？
• RQ2 当两个广义桥测度彼此奇异时，它们在何种条件下仍共享相同的 Cameron-Martin 空间？
• RQ3 与这些桥相关的在 $[0,1)$ 上定义的指数鞅是否可能无法连续延拓至 $[0,1]$？这对其 Girsanov 变换意味着什么？
• RQ4 哪类时变漂移项 $ f(t,x) $ 能够确保生成的测度与经典桥测度保持等价？
• RQ5 协方差算子及其逆的结构如何与路径空间上高斯测度的等价性相关？

主要发现

• 由 SDE $ dz_t = dB_t - \frac{c}{1-t} z_t dt $ 所诱导的测度 $ \nu^{(c)} $，对于所有 $ c \in (0,1) \cup (1,\infty) $，相对于 $ \nu^{(1)} $ 是奇异的，即使当 $ c > \frac{1}{2} $ 时两者的 Cameron-Martin 空间作为集合相同。
• 测度 $ \nu^{(c)} $ 的 Cameron-Martin 空间为 $ H_{0,0} $ 当且仅当 $ c > \frac{1}{2} $；当 $ c \leq \frac{1}{2} $ 时，空间不同。
• 当 $ c \neq 1 $ 时，算子 $ A^{-1} R_c (A^*)^{-1} = I + K $ 中的核 $ q_c(s,t) $ 由于对数奇异性而不再是 $ L^2 $-可积，除非 $ c = 1 $，这暗示了奇异性的存在。
• 对于扰动后的 SDE $ dx_t = dB_t - \frac{x_t}{1-t} dt + \frac{f(t,x_t)}{(1-t)^\delta} dt $，当 $ \delta < \frac{1}{2} $ 且满足 $ |f(t,x)|^2 \leq c|x|^2 + c $，$ c^2 \leq \frac{1}{4}(1 - 2\delta) $ 时，所生成的测度 $ \nu_2 $ 与 $ \nu^{(1)} $ 等价。
• Radon-Nikodym 导数 $ \frac{d\nu_2}{d\nu^{(1)}} $ 是 $[0,1)$ 上的一致可积鞅，且在 $ L^1 $ 中收敛，从而保证了 $ \nu_2 $ 与 $ \nu^{(1)} $ 的等价性。
• 本文提供了在 $[0,1)$ 上定义但无法连续延拓至 $[0,1]$ 的指数鞅的实例，这些实例源于 $ c \neq 1 $ 的奇异测度 $ \nu^{(c)} $。