[论文解读] Generalization of connections on Lie algebroids and derivation-based non-commutative geometry

Serge Lazzarini, Thierry Masson|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 2

一句话总结

本文通过微分演算的形式化连接与曲率形式，引入了在传递李代数丛上连接的广义概念。它表明，这些广义连接统一了典型连接在阿蒂亚代数丛上的情形与基于导子的非交换几何连接，揭示了经典几何与非交换几何之间通过自同态代数代数框架所体现的深层结构平行关系。

ABSTRACT

In this paper we study some generalized notions of connections on transitive Lie algebroids from an algebraic point of view. Differential cal- culi are introduced to manage connections 1-forms and curvature 2-forms. Two examples are studied in details: the Atiyah Lie algebroid of a principal fiber bundle and the space of derivations of the algebra of endomorphisms of a SL(n)-vector bundle. Using these two examples we show that the notion of generalized connections studied here is strongly related to the notion of connections on the derivation-based non-commutative geometry of this alge- bra of endomorphisms. As such, relative to ordinary connections, generalized connections on an Atiyah Lie algebroid is the same kind of generalization as (derivation-based) non-commutative connections.

研究动机与目标

• 通过代数微分演算，将传递李代数丛上连接的概念推广至经典设定之外。
• 利用李代数丛上的微分演算，建立连接1-形式与曲率2-形式的形式化框架。
• 在自同态代数的背景下，探讨广义连接与基于导子的非交换几何之间的关系。
• 证明阿蒂亚代数丛上连接的推广，与非交换连接中所见的推广在结构上完全一致。

提出的方法

• 本文采用李代数丛上的微分演算，以代数方式定义并操作连接1-形式与曲率2-形式。
• 以主丛的阿蒂亚李代数丛为关键示例，阐明广义连接结构。
• 研究SL(n)-向量丛自同态代数的导子空间，以将广义形式化与非交换几何联系起来。
• 利用导子的代数结构，证明阿蒂亚代数丛上的广义连接恰好对应于基于导子的非交换连接。
• 该框架依赖于李代数丛结构与微分演算之间的相互作用，以推广曲率与连接形式。
• 通过自同态代数，建立主丛上经典连接与非交换连接之间的范畴与代数对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用代数微分演算，将传递李代数丛上的连接进行广义化？
• RQ2 广义连接在阿蒂亚代数丛上与基于导子的非交换连接之间的确切关系为何？
• RQ3 在此广义框架中，曲率与连接形式在多大程度上反映了经典微分几何的概念？
• RQ4 SL(n)-向量丛自同态代数的导子代数在多大程度上编码了广义几何结构？
• RQ5 在何种意义上，这种广义化统一了经典与非交换微分几何？

主要发现

• 通过微分演算，广义连接在传递李代数丛上被形式化，从而实现了对连接1-形式与曲率2-形式的系统化处理。
• 主丛的阿蒂亚李代数丛提供了一个自然的设定，在此设定中，广义连接对应于经典意义下的普通连接。
• SL(n)-向量丛自同态代数的导子空间实现了非交换几何结构，在此结构中，广义连接与基于导子的非交换连接完全一致。
• 代数框架表明，阿蒂亚代数丛上连接的推广在结构上同构于基于导子的非交换几何中所见的推广。
• 本研究通过李代数丛与自同态代数几何的视角，建立了经典连接与非交换连接之间的概念与结构平行关系。