[论文解读] Generalized bent functions and their Gray images

Thor Martinsen, Wilfried Meidl+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 6

一句话总结

该论文证明了取值于 ℤ₂ᵏ 的广义 bent（gbent）函数在 ℤ₂ⁿ 上始终是正则的，并对 ℤ₁₆ 中的 gbent 和半 bent 函数提供了完整表征。它证明了 ℤ₈ 或 ℤ₁₆ 中 gbent 函数的 Gray 映射是半 bent 或 3-平顶的，扩展了先前关于 ℤ₄ 和 ℤ₈ 中 gbent 函数的研究结果。

ABSTRACT

In this paper we prove that generalized bent (gbent) functions defined on $\mathbb{Z}_2^n$ with values in $\mathbb{Z}_{2^k}$ are regular, and find connections between the (generalized) Walsh spectrum of these functions and their components. We comprehensively characterize generalized bent and semibent functions with values in $\mathbb{Z}_{16}$, which extends earlier results on gbent functions with values in $\mathbb{Z}_4$ and $\mathbb{Z}_8$. We also show that the Gray images of gbent functions with values in $\mathbb{Z}_{2^k}$ are semibent/plateaued when $k=3,4$.

研究动机与目标

• 建立取值于 ℤ₂ᵏ（k ≥ 2）的广义 bent（gbent）函数的正则性。
• 以分量布尔函数为基准，全面表征 ℤ₁₆ 中的 gbent 和半 bent 函数。
• 将已知关于 ℤ₄ 和 ℤ₈ 中 gbent 函数的结果推广至 ℤ₁₆ 的情形。
• 研究 gbent 函数的 Gray 映射的性质，特别是其 bent 性与平顶性。
• 基于谱分析，提供 gbent 性的必要与充分条件，以分量函数为依据。

提出的方法

• 使用广义 Walsh-Hadamard 变换，将 gbent 函数定义为所有频率分量的幅值恒为 2ⁿ/² 的函数。
• 应用谱分解，将 gbent 函数表示为其分量布尔函数 aᵢ: ℤ₂ⁿ → ℤ₂ 的形式。
• 采用递归分解技术，将 ℤ₂ᵏ 中的 gbent 性与 ℤ₂ᵏ⁻¹ 中的 gbent 性关联起来。
• 通过分析对偶变换乘积的虚部，推导出 gbent 性的必要与充分条件。
• 应用广义 Gray 映射 ψ，将 ℤ₂ᵏ 中的函数转换为 ℤ₂ⁿ⁺ᵏ⁻¹ 中的布尔函数。
• 利用 Hamming 距离在广义 Gray 映射下的不变性，保持图像中结构性质的保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有取值于 ℤ₂ᵏ（k ≥ 2）的广义 bent 函数是否必然为正则函数？
• RQ2 在 ℤ₁₆ⁿ 中，函数 f 为 gbent 的必要与充分条件是什么，以它的分量布尔函数为基准？
• RQ3 广义 Walsh-Hadamard 变换的谱特性如何与 ℤ₁₆ 上函数的 gbent 性相关？
• RQ4 ℤ₈ 或 ℤ₁₆ 中 gbent 函数的 Gray 映射具有何种性质？
• RQ5 能否通过其在 ℤ₂ᵏ⁻¹ 中的分量，递归地表征 ℤ₂ᵏ 中函数的 gbent 性？

主要发现

• 所有取值于 ℤ₂ᵏ 的广义 bent 函数 f: ℤ₂ⁿ → ℤ₂ᵏ 都是正则的，即其 Walsh-Hadamard 变换满足 |ℋ_f(u)| = 2ⁿ/²，且 ℋ_f(u) = 2ⁿ/²ζ_q^{f*(u)}，其中 f* 为某个对偶函数。
• 当 k = 4（即取值于 ℤ₁₆）时，本文以分量布尔函数 a₁, ..., a₄ 为基准，对 gbent 和半 bent 函数提供了完整表征。
• ℤ₈ 中 gbent 函数的 Gray 映射是半 bent 的，而 ℤ₁₆ 中 gbent 函数的 Gray 映射是 3-平顶的。
• ℤ₂ᵏ 中 gbent 函数 f 的广义 Walsh-Hadamard 变换满足对所有 u ∈ ℤ₂ⁿ 都有 |ℋ_f(u)| = 2ⁿ/²，且该性质在广义 Gray 映射下保持不变。
• 函数 f = h + 2ᵏ⁻²g 在 ℤ₂ᵏ 中为 gbent，当且仅当 h 和 h + 2ᵏ⁻²g 在 ℤ₂ᵏ⁻¹ 中均为 gbent，且它们变换乘积的虚部为零。
• 本研究结果推广了先前关于 ℤ₄ 和 ℤ₈ 中 gbent 函数的研究，为更高阶 gbent 函数提供了系统化的理论框架。