[论文解读] Generalized conditional expectations for quantum retrodiction and smoothing

Mankei Tsang|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2019

Quantum Information and Cryptography参考文献 62被引用 17

一句话总结

本文提出了一种基于广义条件期望（GCEs）的量子反演与平滑的统一形式体系，突破了非破坏性原理的限制。通过在海森堡绘景中利用Ohki的最小均方误差估计器框架，并将其映射到薛定谔绘景中的开放量子系统理论，该方法导出的最优估计器推广了弱值、量子平滑和参数估计，为即使在非相容可观测量情况下的推断提供了决策理论基础。

ABSTRACT

The inference of a hidden variable's historical value, based on observations before and after the fact, is a controversial subject in quantum mechanics. Here I address the controversy by proposing a formalism that unifies and generalizes some of the previous proposals for the task, including the quantum minimum-mean-square-error estimators proposed by Ohki, the generalized conditional expectation proposed by Accardi and Cecchini, the quantum smoothing theory proposed by Tsang, the optimal observables for parameter estimation proposed by Personick, Belavkin, and Grishanin, and the weak values proposed by Aharonov, Albert, and Vaidman. The formalism is based on Ohki's suggestion of a distance between two observables in the Heisenberg picture, which remains well defined for incompatible observables and serves as a more general foundation for quantum inference than Belavkin's nondemolition principle.

研究动机与目标

• 通过提出一种统一的形式体系，推广现有方法，解决量子反演中的争议。
• 利用最小均方误差估计器，建立量子推断的决策理论基础。
• 将数学物理中的广义条件期望（GCEs）与物理量子推断问题相连接。
• 证明GCEs在量子平滑与反演中对相容与非相容可观测量均能导出最优估计器。
• 表明先前的框架——如弱值、量子平滑与参数估计——均为所提形式体系的特例。

提出的方法

• 基于Ohki在海森堡绘景中提出的基于内积的距离度量的量子最小均方误差估计器，提出一种形式体系。
• 利用开放量子系统理论，将海森堡绘景中的估计器转换为薛定谔绘景框架。
• 将最优估计器识别为广义条件期望（GCE），即使在非对易可观测量情况下，该定义在数学上也完全成立。
• 证明所得GCE与量子概率和统计推断中的已知数学构造完全一致。
• 将该形式体系应用于非破坏性相容与非相容情形，包括线性高斯系统与弱值实验。
• 证明当应用于特定情形时，该形式体系退化为已知结果（如弱值、量子平滑）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当可观测量不满足对易关系时，如何一致地定义量子反演与平滑？
• RQ2 能否构建一种统一形式体系，推广弱值、量子平滑与参数估计？
• RQ3 广义条件期望在非破坏性原理之外的量子推断中起什么作用？
• RQ4 该形式体系如何将量子推断的适用范围扩展至非相容可观测量？
• RQ5 在决策理论框架下，广义条件期望为何是最优估计器？

主要发现

• 所提形式体系统一并推广了现有的量子反演与平滑方法，包括弱值、量子平滑与参数估计。
• 基于最小均方误差原则导出的最优估计器在薛定谔绘景中恰好对应于广义条件期望（GCE）。
• 该形式体系对非相容可观测量依然保持良好定义，从而克服了非破坏性原理的局限性。
• 在线性高斯系统中，该形式体系重现了已知的量子平滑结果，验证了其一致性。
• 该框架为量子推断提供了决策理论解释，其基础是可测量误差的最小化。
• 首次建立了GCEs（此前仅作为数学工具使用）与物理量子推断之间的联系，为量子估计与控制领域开辟了新应用。