[论文解读] Generalized difference Cesaro sequence spaces of fuzzy real numbers defined by Orlicz functions

Binod Chandra Tripathy, Stuti Borgohain|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过使用Orlicz函数，引入了模糊实数的广义差分Cesàro序列空间，将经典序列空间理论推广至模糊设定。研究建立了拓扑性质、包含关系及完备性，推广了先前关于模糊数差分与Cesàro序列空间的研究成果。

ABSTRACT

In this paper we introduced the generalized difference Cesaro sequence spaces of fuzzy real numbers defined by Orlicz function. We study some topological properties of these spaces. We obtain some inclusion relations involving these sequence spaces. These notions generalize many notions on difference Cesaro sequence spaces.

研究动机与目标

• 通过Orlicz函数将经典的差分Cesàro序列空间推广至模糊实数。
• 在模糊序列空间背景下，研究完备性与收敛性等拓扑性质。
• 建立新定义的序列空间与相关经典空间之间的包含关系。
• 将差分与Cesàro序列空间的现有结果推广至使用Orlicz函数范数的模糊设定。
• 提供一个统一框架，推广模糊数序列空间理论中的多个先前概念。

提出的方法

• 通过Orlicz函数M定义模糊实数的广义差分Cesàro序列空间，记为 $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, 和 $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $。
• 利用广义差分算子 $ \Delta_{m}^{n}x_{k} = \sum_{r=0}^{n}(-1)^{r}\binom{n}{r}x_{k+rm} $ 定义高阶差分。
• 在闭有界区间上使用度量 $ \overline{d}(X,Y) = \max\{|X^{L}-Y^{L}|, |X^{R}-Y^{R}|\} $ 衡量模糊数之间的距离。
• 将Orlicz函数M作用于归一化距离 $ \overline{d}(\Delta_{m}^{n}X_{k}, \overline{0})/\rho $，并利用Cesàro平均 $ \frac{1}{i}\sum_{k=1}^{i} M(\cdots) $ 定义收敛性。
• 通过范数 $ \|x\|_{\Delta_{m}^{n}} = \sum_{r=1}^{m}|x_{r}| + \sup_{k\geq1}|\Delta_{m}^{n}x_{k}| $ 证明拓扑性质，该范数已适配于模糊序列。
• 利用Orlicz函数的 $ \Delta_{2} $-条件确保在所定义范数下有界性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Orlicz函数将经典的Cesàro与差分序列空间推广至模糊实数？
• RQ2 新定义的模糊序列空间具有哪些拓扑性质，如完备性与收敛性？
• RQ3 广义模糊序列空间 $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, $ O_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $, 与 $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 之间存在何种包含关系？
• RQ4 Orlicz函数的性质，特别是 $ \Delta_{2} $-条件，如何影响这些模糊序列空间的行为？
• RQ5 空间 $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 是否为收敛自由空间？其结构具有何种含义？

主要发现

• 空间 $ C_{\infty}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 一般并非收敛自由空间，反例表明存在 $ \rho > 0 $ 使得 $ \sup_{i}\frac{1}{i}\sum_{k=1}^{i}M(\overline{d}(\Delta_{m}^{n}X_{k},\overline{0})/\rho) = \infty $。
• 包含关系 $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset O_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 成立，且当 $ 1 \leq p < \infty $ 时为严格包含。
• 对于 $ 1 \leq p < q $，有 $ C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset C_{q}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 与 $ \ell_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) \subset \ell_{q}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $ 成立。
• 对所有 $ m \geq 1 $, $ n \geq 1 $，有 $ C_{p}^{F}(M) \subset C_{p}^{F}(M,\Delta_{m}^{n}) $，表明广义空间大于标准Cesàro空间。
• 对于满足 $ \Delta_{2} $-条件的Orlicz函数 $ M_{1}, M_{2} $，有 $ Z(M_{1},\Delta_{m}^{n}) \subseteq Z(M \circ M_{1},\Delta_{m}^{n}) $ 与 $ Z(M_{1},\Delta_{m}^{n}) \cap Z(M_{2},\Delta_{m}^{n}) \subseteq Z(M_{1}+M_{2},\Delta_{m}^{n}) $，其中 $ Z \in \{C_{\infty}^{F}, O_{\infty}^{F}, C_{p}^{F}, O_{p}^{F}, \ell_{p}^{F}\} $。
• 当 $ i < n $ 时，有 $ Z(M,\Delta_{m}^{i}) \subset Z(M,\Delta_{m}^{n}) $，表明高阶差分产生严格更大的序列空间。