[论文解读] Generalized Harish-Chandra descent and applications to Gelfand pairs

Avraham Aizenbud, Dmitry Gourevitch+1 more|ArXiv.org|Mar 24, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 10

一句话总结

该论文将哈里什-钱德拉的下降技巧推广至特征为零的局部域上的仿射光滑簇上作用的半单群，利用卢纳切片定理。通过等变分布建立了Gelfand对的判别准则，并证明了$(GL_n(\mathbb{C}), GL_n(\mathbb{R}))$是一个Gelfand对，从而将Gelfand-Kazhdan在非阿基米德情形下关于不变分布转置不变性的定理推广到了阿基米德情形。

ABSTRACT

In the first part of the paper we generalize a descent technique due to Harish-Chandra to the case of a reductive group acting on a smooth affine variety both defined over arbitrary local field F of characteristic zero. Our main tool is Luna slice theorem. In the second part of the paper we apply this technique to symmetric pairs. In particular we prove that the pair (GL(n,C),GL(n,R)) is a Gelfand pair. We also prove that any conjugation invariant distribution on GL(n,F) is invariant with respect to transposition. For non-archimedean F the later is a classical theorem of Gelfand and Kazhdan. We use the techniques developed here in our subsequent work [AG3] where we prove an archimedean analog of the theorem on uniqueness of linear periods by H. Jacquet and S. Rallis.

研究动机与目标

• 将哈里什-钱德拉的下降方法推广至特征为零的局部域上作用于仿射光滑簇的半单群。
• 为在阿基米德与非阿基米德局部域上统一证明Gelfand性质建立框架。
• 通过代数几何条件建立对称对的驯服性与正则性的代数几何判据，以验证Gelfand对条件。
• 将经典的Gelfand-Kazhdan定理（关于不变分布的转置不变性）推广至阿基米德情形。
• 为证明表示理论中的重数一结果（包括Jacquet-Rallis关于线性周期唯一性的阿基米德类比）提供基础。

提出的方法

• 利用卢纳切片定理推广哈里什-钱德拉下降法，将簇上等变分布问题约化为具有闭轨道的点处的法空间问题。
• 引入“驯服”群作用的概念，其中在闭轨道上关于对合的不变性可推出所有分布的不变性。
• 通过后裔上的代数几何条件定义“正则对称对”，确保不变分布关于反对合保持不变。
• 将理论应用于对称对$(G, G^\theta)$，证明若所有后裔均为正则且双陪集关于$σ$不变，则该对为Gelfand对。
• 在阿基米德情形下，利用Weil表示与傅里叶分析分析分布不变量。
• 通过$e$、$f$与$h$在循环向量上的作用，建立$sl_2(\mathbb{R})$表示有限维的判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 哈里什-钱德拉的下降方法能否推广至任意特征为零的局部域上作用于仿射光滑簇的群作用？
• RQ2 在何种几何条件下，簇$X(F)$上的$G(F)$-不变分布也关于对合$\tau$不变？
• RQ3 对是否为Gelfand对，且是否满足Gelfand-Kazhdan定理的阿基米德类比？
• RQ4 何种代数几何条件可确保对称对为正则，且其与Gelfand性质有何关联？
• RQ5 能否仅用代数几何工具验证驯服性条件，且该条件是否蕴含Gelfand性质？

主要发现

• $(GL_n(\mathbb{C}), GL_n(\mathbb{R}))$ 是一个Gelfand对，推广了Flicker在非阿基米德情形的结果。
• 对任意特征为零的局部域$F$，$GL_n(F)$上的任意$G(F)$-不变分布均关于转置不变，推广了Gelfand-Kazhdan的非阿基米德定理。
• 半单群在自身上的伴随作用是驯服的，意味着$G(F)$上所有$G(F)$-不变分布关于反对合$g \mapsto \theta(g^{-1})$不变。
• 对任意定义在$F$上的半单群$G$及二次扩张$E/F$，对$(G(E), G(F))$是驯服的，因此$(GL_n(E), GL_n(F))$是Gelfand对。
• 该理论证明了对$(GL_{n+k}, GL_n \times GL_k)$是Gelfand对，通过证明其为正则对，从而确认了非阿基米德结果的阿基米德类比。
• 论文提出了基于代数几何数据的对称对正则性判别准则，并证明：若所有后裔均为弱线性驯服，则整体为驯服。