[论文解读] Generalized Local Fractional Taylor's Formula with Local Fractional Derivative

Xiao‐Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 12被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于局部分数阶导数（LFDs）的广义局部分数阶泰勒公式，将经典泰勒展开推广至分形集和非可微函数。该研究建立了局部分数阶泰勒级数的严格框架，特别展示了其在梅特格-莱夫勒型函数上的应用，实现了在分形微积分背景下的逼近与级数表示。

ABSTRACT

In the present paper, a generalized local Taylor formula with the local fractional derivatives (LFDs) is proposed based on the local fractional calculus (LFC). From the fractal geometry point of view, the theory of local fractional integrals and derivatives has been dealt with fractal and continuously non-differentiable functions, and has been successfully applied in engineering problems. It points out the proof of the generalized local fractional Taylor formula, and is devoted to the applications of the generalized local fractional Taylor formula to the generalized local fractional series and the approximation of functions. Finally, it is shown that local fractional Taylor series of the Mittag-Leffler type function is discussed.

研究动机与目标

• 通过局部分数阶导数将经典泰勒展开推广至分形域。
• 为连续不可微函数开发一种广义的局部分数阶泰勒公式。
• 为局部分数阶级数展开提供理论基础。
• 展示该公式在通过局部分数阶泰勒级数逼近函数方面的实用性。
• 分析梅特格-莱夫勒型函数的局部分数阶泰勒级数。

提出的方法

• 基于局部分数阶微积分（LFC）理论推导广义局部分数阶泰勒公式。
• 利用局部分数阶导数（LFDs）表示函数在分形集上的行为。
• 应用该公式构建广义的局部分数阶级数展开。
• 建立特定函数的级数收敛性与表示性质。
• 利用推导出的泰勒公式分析梅特格-莱夫勒型函数。
• 通过理论推导和在一类分形解析函数上的应用进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于局部分数阶导数为定义在分形集上的函数构建广义泰勒展开？
• RQ2 在何种条件下，局部分数阶泰勒级数会收敛到给定函数？
• RQ3 广义的局部分数阶泰勒公式能否表示特殊函数，如梅特格-莱夫勒函数？
• RQ4 在不可微背景下，局部分数阶泰勒公式与经典泰勒展开相比有何异同？
• RQ5 广义的局部分数阶泰勒级数在建模分形现象方面有哪些实际应用？

主要发现

• 通过局部分数阶导数严格推导出广义的局部分数阶泰勒公式，实现了在分形集上对函数展开的能力。
• 该公式可在适当条件下构造出收敛于原函数的局部分数阶泰勒级数。
• 梅特格-莱夫勒型函数可表示为局部分数阶泰勒级数，证明了该公式在特殊函数上的适用性。
• 该方法为通过级数展开逼近不可微且分形连续的函数提供了框架。
• 理论基础支持在具有分形几何的复杂系统建模中使用局部分数阶级数。
• 该方法将经典微积分工具扩展至不可微情形，为分形分析提供了新的解析技术。