[论文解读] Generalized Multiscale Finite Element Method for Elasticity Equations

Eric T. Chung, Yalchin Efendiev+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文提出了一种广义多尺度有限元方法（GMsFEM），用于求解高度非均质、高对比度介质中的弹性方程——这类介质常见于地下地震波模拟。通过利用局部谱分解构建快照空间和离线空间，并采用连续和不连续伽辽金耦合方法，该方法在显著减少自由度的同时实现了高精度解，尤其在使用过度采样和基于调和扩展的快照空间时效果更佳。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the application of Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM) to elasticity equation in heterogeneous media. Our applications are motivated by elastic wave propagation in subsurface where the subsurface properties can be highly heterogeneous and have high contrast. We present the construction of main ingredients for GMsFEM such as the snapshot space and offline spaces. The latter is constructed using local spectral decomposition in the snapshot space. The spectral decomposition is based on the analysis which is provided in the paper. We consider both continuous Galerkin and discontinuous Galerkin coupling of basis functions. Both approaches have their cons and pros. Continuous Galerkin methods allow avoiding penalty parameters though they involve partition of unity functions which can alter the properties of multiscale basis functions. On the other hand, discontinuous Galerkin techniques allow gluing multiscale basis functions without any modifications. Because basis functions are constructed independently from each other, this approach provides an advantage. We discuss the use of oversampling techniques that use snapshots in larger regions to construct the offline space. We provide numerical results to show that one can accurately approximate the solution using reduced number of degrees of freedom.

研究动机与目标

• 解决在缺乏尺度分离的非均质、高对比度介质中求解弹性方程的挑战，此时经典均质化方法失效。
• 为具有裂缝、溶孔和空洞的复杂地下构造中的稳态弹性问题开发一种模型降阶技术。
• 设计一种多尺度方法，在大幅降低计算成本的同时保持高精度，通过显著减少自由度实现。
• 比较并分析两种全局耦合策略：用于多尺度基函数的连续伽辽金（CG）方法与不连续伽辽金（DG）方法。
• 研究过度采样和不同快照空间构造对收敛性和准确性的影响。

提出的方法

• 通过每个粗网格块内的所有细网格函数或调和扩展构造快照空间，以捕捉局部解的行为。
• 在快照空间中进行局部谱分解，提取代表变化主要模式的多尺度基函数。
• 从谱分解中构建离线空间，仅保留最重要的模式以降低维度。
• 实现两种全局耦合方法：使用单位分解函数的连续伽辽金（CG）方法和使用对称内罚方法的不连续伽辽金（DG）方法。
• 通过将特征值问题的定义域扩展至粗单元之外来应用过度采样，以提高基函数质量并降低维度。
• 利用所得的多尺度基函数在降阶空间中求解全局弹性问题，从而最小化自由度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效构建在高对比度且无尺度分离介质中弹性方程的多尺度基函数？
• RQ2 在弹性问题的GMsFEM中，连续伽辽金与不连续伽辽金耦合在精度和稳定性方面的相对表现如何？
• RQ3 过度采样在多大程度上能提升GMsFEM在弹性问题中的收敛性和鲁棒性？
• RQ4 不同快照空间选择（如调和扩展与所有细网格函数）对多尺度解精度的影响如何？
• RQ5 所提出的GMsFEM能否在高对比度弹性问题中以较少的自由度实现最优收敛率？

主要发现

• 基于调和扩展的快照空间相比标准细网格快照空间，表现出更优的收敛行为。
• 过度采样技术通过提升多尺度基函数的质量，显著提高了GMsFEM的精度和收敛速率。
• 不连续伽辽金方法允许独立构建基函数而无需修改，相较于连续伽辽金方法在计算和实现上具有优势。
• 连续伽辽金方法需要单位分解函数，可能改变多尺度基函数的性质，但避免了罚参数的使用。
• 数值结果证实，即使在高对比度介质中，GMsFEM也能以较少的自由度准确逼近细尺度解。
• 理论误差界表明，误差依赖于谱间隙和边界通量项，当离线空间捕获了主导模式时，收敛速率会提高。