[论文解读] Generalized Polya-Szego inequality and applications to some quasi-linear elliptic problems

Hichem Hajaiej, Marco Squassina|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用 8

一句话总结

本文建立了适用于依赖于函数及其梯度的泛函的广义波利亚-施瓦茨不等式，且无需对泛函施加增长条件。通过迭代极化逼近与弱下半连续性，作者证明了该不等式，并将其应用于证明一类拟线性椭圆问题解的径向对称性与唯一性。

ABSTRACT

We generalize Polya-Szego inequality to integrands depending on $u$ and its gradient. Under minimal additional assumptions, we establish equality cases in this generalized inequality. We also give relevant applications of our study to a class of quasi-linear elliptic equations and systems.

研究动机与目标

• 将经典的波利亚-施瓦茨不等式推广至依赖于 $u$ 和 $\nabla u$ 的泛函，推广此前需依赖增长或凸性约束的结果。
• 在泛函的适当结构假设下，建立广义不等式中的等号成立条件。
• 将广义不等式应用于证明一类拟线性椭圆方程与方程组正解的径向对称性与唯一性。
• 消除此前相关对称化不等式中对泛函 $j(s,\xi)$ 所需的增长条件。
• 提出一种基于逼近的新证明技术，利用迭代极化，其在 $L^p$ 中收敛于施瓦茨对称化。

提出的方法

• 通过在一组稠密的半空间上进行迭代极化，逼近函数 $u$ 的施瓦茨对称化 $u^*$。
• 利用极化下梯度 $L^p$-范数的不变性：对所有 $n$ 有 $\|\nabla u_n\|_{L^p} = \|\nabla u\|_{L^p}$。
• 在逼近函数序列上应用泛函 $J(u) = \int_{\mathbb{R}^N} j(u, |\nabla u|) \, dx$ 的弱下半连续性。
• 通过极限论证建立广义波利亚-施瓦茨不等式：$\int_{\mathbb{R}^N} j(u^*, |\nabla u^*|) \, dx \leq \int_{\mathbb{R}^N} j(u, |\nabla u|) \, dx$。
• 利用严格凸性与收敛性性质，在等号成立条件下推导出 $W^{1,p}$ 中梯度与函数的强收敛性。
• 将结果应用于涉及 $\int j(u, |\nabla u|) \, dx$ 与 $\int G(u) \, dx = 1$ 的极小化问题，通过缩放将极小化子与最小能量解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 波利亚-施瓦茨不等式能否推广至依赖于 $u$ 与 $|\nabla u|$ 的泛函 $j(s, \xi)$，且无需施加增长条件？
• RQ2 在何种条件下，广义波利亚-施瓦茨不等式对这类泛函成立等号？
• RQ3 广义不等式如何用于证明拟线性椭圆问题解的径向对称性与唯一性？
• RQ4 迭代极化在逼近施瓦茨对称化并保持梯度范数方面起到何种作用？
• RQ5 对称化不等式在索伯列夫空间中的非紧致极小化问题中可应用到何种程度？

主要发现

• 广义波利亚-施瓦茨不等式在无增长条件下成立：对所有非负 $u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，有 $\int_{\mathbb{R}^N} j(u^*, |\nabla u^*|) \, dx \leq \int_{\mathbb{R}^N} j(u, |\nabla u|) \, dx$。
• 在条件 $\mu(C^* \cap (u^*)^{-1}(0,M)) = 0$ 下，等号成立当且仅当 $u$ 经适当平移后为径向对称且径向递减。
• 对于拟线性椭圆方程组，若泛函满足适当的凸性与单调性条件，则能量泛函的极小化子为径向对称且径向递减。
• 在本文假设下，极小化问题 $\min \left\{ \int j(u, |\nabla u|) \, dx : \int G(u) \, dx = 1 \right\}$ 的解为径向对称且径向递减。
• 极化序列 $u_n$ 在 $L^p$ 中收敛于 $u^*$，且 $\|\nabla u_n\|_{L^p}$ 保持不变，使得可应用弱下半连续性以导出主不等式。
• 通过证明等号在对称化不等式中成立时，每个分量在平移后必为径向对称且递减，从而确立了系统 (4.1) 正解的唯一性。