[论文解读] Generalized Remez Inequality for $(s,p)$-Valent Functions

Yosef Yomdin|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2011

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过引入$(s,p)$-prenant函数，将经典的Remez不等式推广至复解析函数，其中$(s,p)$-prenant函数通过控制多项式$P$（次数为$s$）的解$f(x) = P(x)$来扩展$p$-prenant函数。利用几何不变量$c_d(Z)$和$\rho_d(Z)$，建立了精确的Remez型不等式，并将其应用于高次多项式在代数曲线上的限制，推导出依赖于奇点几何结构与单值性群的局部与全局不等式。

ABSTRACT

The classical Remez inequality bounds the maximum of the absolute value of a polynomial $P(x)$ of degree $d$ on $[-1,1]$ through the maximum of its absolute value on any subset $Z$ of positive measure in $[-1,1]$. It was shown in \cite{Yom3} that the Lebesgue measure in the Remez inequality can be replaced by a certain geometric invariant $ω_d(Z)$ which can be effectively estimated in terms of the metric entropy of $Z$ and which may be nonzero for discrete and even finite sets $Z$. In the present paper we first obtain an essentially sharp Remez-type inequality in the spirit of \cite{Yom3} for complex polynomials of one variable, introducing metric invariants $c_d(Z)$ and $ø_{cd}(Z)$ for an arbitrary subset $Z\subset D_1\subset {\mathbb C}$. These invariants translate into the the metric language the classical Cartan lemma (see \cite{Gor} and references therein). Next we introduce $(s,p)$-valent functions, which provide a natural generalization of $p$-valent ones (see \cite{Hay} and references therein). We prove a "distortion theorem" for such functions, comparing them with polynomials sharing their zeroes. On this base we extend to $(s,p)$-valent functions our polynomial Remez-type inequality. As the main example we consider restrictions $g$ of polynomials of a growing degree to a fixed algebraic curve, for which we obtain an essentially sharp "local" Remez-type inequality, stressing the role of the geometry of singularities of $g$. Finally, we obtain for such functions $g$ a "global" Remez-type inequality which is valid for all the branches of $g$ and involves both the geometry of singularities of $g$ and its monodromy.

研究动机与目标

• 将经典Remez不等式从实多项式推广至复解析函数，使用几何不变量而非Lebesgue测度。
• 引入并研究$(s,p)$-prenant函数作为$p$-prenant函数的推广，以捕捉解析函数相对于有界次数多项式的解结构。
• 为高次多项式在代数曲线上的限制建立局部Remez型不等式，其依赖于奇点几何结构与到奇点的距离。
• 建立适用于此类函数所有分支的全局Remez型不等式，整合单值性群与几何构型。

提出的方法

• 为$\mathbb{C}$中的子集$Z$引入度量不变量$c_d(Z)$与$\rho_d(Z)$，通过Cartan引理由Lebesgue测度推广至Remez不等式。
• 将$(s,p)$-prenant函数定义为：对任意次数为$s$的多项式$P$，在某区域内方程$f(x) = P(x)$的解不超过$p$个。
• 证明一个扭曲定理，比较具有相同零点的$(s,p)$-prenant函数与多项式，从而实现Remez型界的扩展。
• 将该框架应用于多项式在代数曲线$y = h(x)$上的限制$g(x) = P(x, h(x))$，分析在非奇点附近的局部行为。
• 通过在$\mathbb{C} \setminus \Sigma$中连接圆盘链构建全局不等式，利用半径与不变量$c_j = c_{d_1}(D_{j,1} \cap D_j')$控制各分支间的增长。
• 将常数$K(S)$定义为所有此类圆盘链中涉及$\sigma(R_j, R_{j1}, R_j')$与$c_j^{-1}$的乘积的下确界，以捕捉全局单值性与几何约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用几何不变量而非Lebesgue测度，将经典Remez不等式推广至复解析函数？
• RQ2 何种有界次数多项式相对解析函数解结构的$p$-prenant函数的自然推广？
• RQ3 Remez型不等式如何推广至高次多项式在代数曲线上的限制？此类界的最佳性由何种几何数据决定？
• RQ4 单值性在构造多分支解析函数的全局Remez型不等式中起何种作用？

主要发现

• 利用不变量$c_d(Z)$替代Lebesgue测度，为复多项式建立了精确的Remez型不等式，该几何量可计算于离散集。
• 本文引入$(s,p)$-prenant函数作为$p$-prenant函数的自然推广，其中$p$-prenant函数对应于$s=0$。
• 对于多项式在代数曲线上的限制$g(x) = P(x, h(x))$，存在一个依赖于曲线次数、$P$的次数及到最近奇点距离的局部Remez不等式。
• 为$g$的所有分支推导出全局Remez不等式，常数$K(S)$依赖于单值群$G$、集合$Z$的构型以及连接$Z$与求值点$x_0$的圆盘链。
• $K(S)$被定义为所有圆盘链中涉及$\sigma$-函数与$c_j^{-1}$的乘积的下确界，以确保对解析开拓与分支间增长的控制。
• 不等式(5.4)明确分离了集合$Z$、区域$D_0$的大小以及涉及$x_0$、$\Sigma$与单值性的全局构型的贡献。