[论文解读] Generalized theta linear series on moduli spaces of vector bundles on curves

Mihnea Popa|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 57被引用 22

一句话总结

本文综述了代数曲线上向量丛模空间上的广义θ线性系，重点关注pluri-theta线性系的基点自由性和非常正性的有效界。论文运用Quot概形、稳定映射和傅里叶- Mukai变换分析线性系，并证明了Verlinde丛的分解定理，为关于$SU_X(r)$和$U_X(r,0)$上线性系最优界猜想提供了有力证据。

ABSTRACT

This article is based on lecture notes prepared for the August 2006 Cologne Summer School. The first part contains background material and references for beginners. The second (and main) part is a survey of the current status in the theory of pluri-theta linear series and generalized theta divisors on moduli spaces of vector bundles on curves. It emphasizes relatively new techniques employed in the analysis of linear series on these moduli spaces, namely the use of moduli spaces of stable maps for understanding Quot schemes, and the Fourier-Mukai functor in the study of coherent sheaves on abelian varieties. In addition, it briefly describes recent important developments, most significant of which is the proof of the Strange Duality conjecture due to Belkale and Marian-Oprea.

研究动机与目标

• 提供关于曲线上向量丛模空间的线性系和广义θ除子的全面综述。
• 为$SU_X(r)$和$U_X(r,0)$上的pluri-theta线性系的基点自由性和非常正性建立有效界。
• 将理论与Quot概形、稳定映射和傅里叶- Mukai变换联系起来，为分析雅可比簇上的凝聚层提供新方法。
• 提出并支持关于线性系最优界的猜想，扩展经典阿贝尔簇结果。
• 通过强调最近进展（包括奇异对偶性的证明和Verlinde公式代数几何推导）来更新和补充现有综述。

提出的方法

• 利用稳定映射的模空间和Quot概形研究模空间上的凝聚层和线性系。
• 应用傅里叶- Mukai变换分析由广义θ除子导出的雅可比簇上的半同态丛。
• 通过Quot概形上的交点理论代数几何地推导Verlinde公式。
• 通过在$h$-挠点上计算迹，分析Verlinde丛$E_{hr,hk}$分解为简单半同态丛$W_{r,k,\theta}$的结构。
• 应用§6.1中的抽象准则构造线性系的显式基点，扩展Raynaud的例子。
• 利用主极化阿贝尔簇上对称半同态丛的结构推导界和猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$U_X(r,0)$上的线性系$|m\Theta|$和在$SU_X(r)$上的线性系$|\mathcal{L}^m|$中，基点自由性和非常正性的有效界是什么？
• RQ2 Verlinde丛$E_{r,m}$如何分解，这对广义θ线性系的结构意味着什么？
• RQ3 奇异对偶性同构能否通过傅里叶- Mukai变换与Verlinde丛的分解相容？
• RQ4 当$d \neq 0$时，$U_X(r,d)$和$SU_X(r,d)$上线性系的最优界是什么？
• RQ5 在当前技术下，能否证明或改进猜想7.20中的推测界？

主要发现

• 当$(r,k)=1$且$h$为奇数时，Verlinde丛$E_{hr,hk}$分解为$\bigoplus_{\xi} W_{r,k,\xi}^{\oplus m_\xi(r,k)}$，其中显式多重性$m_\xi(r,k)$通过迹公式计算得出。
• 该分解与奇异对偶性同构相容，但映射的相容性尚未确立。
• 将$W_{r,m}^\vee$限制到$X$的阿贝尔-雅可比嵌入上，得到一个秩为$m^g$、斜率为$kg/m$的半稳定丛，当$k < m$且$m \mid g$时满足基点条件。
• Raynaud的基点例子作为$k=1$的情形被重新获得，且该构造可推广至所有简单半同态丛。
• 支持猜想：$U_X(r,0)$上的$|m\Theta|$在$m \geq r+1$时基点自由，在$m \geq 2r+1$时非常正，该猜想得到Verlinde丛和低秩情形的证据支持。
• 提出猜想：$SU_X(r)$上的$|\mathcal{L}^m|$在$m \geq r-1$时基点自由，在$m \geq 2r+1$时非常正，其中$r-1$比$U_X(r,0)$情形中的$r+1$更紧。