[论文解读] Generating functions for descents over permutations which avoid sets of consecutive patterns

Quang T. Bach, Jeffrey B. Remmel|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文将 Jones 和 Remmel 的对偶性方法推广，用于计算避免起始于 1 且至多有一个下降的连续模式集合的排列的指数生成函数。结果表明，此类排列上下降数与左到右最小值的生成函数形式为 $(1/U_\Gamma(t,y))^x$，其中 $U_\Gamma(t,y)$ 对特定模式集合满足显式递推关系，包括 $\{1324,1423\}$、$\{1324\cdots p,12\cdots(p-1)\}$（$p \geq 5$），以及某些两段排列。

ABSTRACT

We extend the reciprocity method of Jones and Remmel to study generating functions of the form $$\\sum_{n \\geq 0} \\frac{t^n}{n!} \\sum_{\\sigma \\in \\mathcal{NM}_n(\\Gamma)}x^{\\mathrm{LRmin}(\\sigma)}y^{1+\\mathrm{des}(\\sigma)}$$ where $\\Gamma$ is a set of permutations which start with 1 and have at most one descent, $\\mathcal{NM}_n(\\Gamma)$ is the set of permutations $\\sigma$ in the symmetric group $\\mathfrak{S}_n$ which have no $\\Gamma$-matches, $\\mathrm{des}(\\sigma)$ is the number of descents of $\\sigma$ and $\\mathrm{LRmin}(\\sigma)$ is the number of left-to-right minima of $\\sigma$. We show that this generating function is of the form $\\left( \\frac{1}{U_{\\Gamma}(t,y)}\ ight)^x$ where $U_{\\Gamma}(t,y) = \\sum_{n\\geq 0}U_{\\Gamma,n}(y) \\frac{t^n}{n!}$ and the coefficients $U_{\\Gamma,n}(y)$ satisfy some simple recursions in the case where $\\Gamma$ equals $\\{1324,123\\}$, $\\{1324 \\cdots p,12 \\cdots (p-1)\\}$ for $p \\geq 5$, or $\\Gamma$ is the set of permutations $\\sigma = \\sigma_1 \\cdots \\sigma_n$ of length $n=k_1+k_2$ where $k_1,k_2 \\geq 2$, $\\sigma_1 =1$, $\\sigma_{k_1+1}=2$, and $\\mathrm{des}(\\sigma) =1$.

研究动机与目标

• 将 Jones 和 Remmel 的对偶性方法推广，以研究避免连续模式集合的排列的生成函数。
• 分析生成函数 $\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} \sum_{\sigma \in \mathcal{NM}_n(\Gamma)} x^{\mathrm{LRmin}(\sigma)} y^{1+\mathrm{des}(\sigma)}$，其中 $\Gamma$ 由起始于 1 且至多有一个下降的排列组成。
• 推导指数生成函数 $U_\Gamma(t,y)$ 中系数 $U_{\Gamma,n}(y)$ 的显式递推关系。
• 研究 $U_{\Gamma,n}(y)$ 的对数凹性，并探讨当模式具有超过一个下降时，对合方法的局限性。

提出的方法

• 使用对偶性方法将生成函数表示为 $\left(\frac{1}{U_\Gamma(t,y)}\right)^x$，其中 $U_\Gamma(t,y) = \sum_{n \geq 0} U_{\Gamma,n}(y) \frac{t^n}{n!}$。
• 在对称函数环 $\Lambda$ 上应用一个环同态 $\theta$，定义为 $\theta(e_n) = \frac{(-1)^n}{n!} \mathrm{NM}_{\Gamma,n}(1,y)$，以建立 $U_\Gamma(t,y)$ 与对称函数恒等式之间的联系。
• 利用恒等式 $U_\Gamma(t,y) = \theta(H(t))$，其中 $H(t)$ 是齐次对称函数的生成函数，来计算 $n! \theta(h_n) = U_{\Gamma,n}(y)$。
• 组合地解释 $n! \theta(h_n)$ 为填充标记砖块表盘的带符号权重和，以推导递推关系。
• 限制对合映射，以避免因标记为 $y$ 的单元格而无法有效分割的情况，从而实现对特定模式族的不动点分析。
• 分析受限对合的不动点，推导出当 $\Gamma$ 包含具有超过一个下降的排列时，$U_{\Gamma,n}(y)$ 的递推关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些起始于 1 且至多有一个下降的连续模式集合 $\Gamma$，生成函数 $\mathrm{NM}_\Gamma(t,x,y)$ 能够以 $U_\Gamma(t,y)$ 的闭式表达？
• RQ2 对偶性方法能否扩展至具有超过一个下降的模式族 $\Gamma$？若能，其条件是什么？
• RQ3 哪些递推关系控制特定族（如 $\{1324,1423\}$、$\{1324\cdots p,12\cdots(p-1)\}$ 和满足 $k_1,k_2 \geq 2$ 的两段排列）的系数 $U_{\Gamma,n}(y)$？
• RQ4 $U_{\Gamma,n}(y)$ 多项式在哪些族 $\Gamma$ 下是对数凹的？何种条件会破坏该性质？
• RQ5 当 $\Gamma$ 包含具有多个下降的排列时，系数 $U_{\Gamma,n}(y)$ 如何变化？对合方法需进行何种修改？

主要发现

• 对于 $\Gamma = \{1324,1423\}$，生成函数为 $\left(\frac{1}{U_\Gamma(t,y)}\right)^x$，其中 $U_{\Gamma,n}(y)$ 满足涉及 $U_{\Gamma,n-1}(y)$ 和 $U_{\Gamma,n-3}(y)$ 的递推关系，系数依赖于 $y$ 和二项式系数。
• 对于 $\Gamma = \{1324\cdots p,12\cdots(p-1)\}$ 且 $p \geq 5$，系数 $U_{\Gamma,n}(y)$ 满足形式为 $U_{\Gamma,n}(y) = (1-y)U_{\Gamma,n-1}(y) - y^2 \binom{n-2}{2} U_{\Gamma,n-3}(y)$ 的递推关系（$n \geq 2$），初始值 $U_{\Gamma,1}(y) = -y$。
• 对于 $\Gamma = \{14253,15243\}$，递推关系为 $U_{\Gamma,n}(y) = (1-y)U_{\Gamma,n-1}(y) - y^2(n-3)(U_{\Gamma,n-4}(y) + (1-y)(n-5)U_{\Gamma,n-5}(y)) - y^3(n-3)(n-5)(n-6)U_{\Gamma,n-6}(y)$（$n \geq 2$），初始值 $U_{\Gamma,1}(y) = -y$。
• 对于 $\tau = 142536$，递推关系涉及关于 $k$ 的求和，系数包含卡塔兰行列式 $H_{2k}$ 和 $H_{2k-1}$，并包含 $y^{3k}$ 和 $y^{3k-1}$ 项，反映出复杂的模式相互作用。
• 对于 $\tau = 162534$，递推关系包含二项式系数 $\binom{n-3k-1}{3k-1}$ 和 $\binom{n-3k-2}{3k}$，显示出对位置和模式结构的依赖性。
• 作者猜想，对于 $\Gamma = \{1324,1423\}$ 和 $\Gamma = \{1324\cdots p,12\cdots p\}$（$p \geq 4$），$U_{\Gamma,n}(y)$ 是对数凹的，但当 $k_1 > k_2$ 时，$U_{\Gamma_{k_1,k_2},n}(-y)$ 并非总是对数凹的。