[论文解读] Generation of interfaces for multi-dimensional stochastic Allen-Cahn equation with a noise smooth in space

Kai Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文研究了带空间平滑噪声的多维随机Allen-Cahn方程中界面的生成，证明界面在 $ O(\varepsilon |\log \varepsilon|) $ 量级的时间形成，扩展了先前的一维结果。本文建立了随机PDE的比较原理，并在特定时间尺度下将界面动力学与Funaki在一维情况下的界面运动模型联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we study the generation of interfaces for a stochastic Allen-Cahn equation with general initial value in the multi-dimensional case that external noise is given by Q-Brownian motion. We prove that interfaces, for d-dimensional stochastic Allen-Cahn equation with scaling parameter are generated at the time of logarithmic order. Especially, in one-dimensional case, we give more detailed estimate and shape of the generated interface. Assuming that the Q-Brownian motion is smooth in space variable, we extend a comparison theorem for PDE to SPDE's in order to prove the generation. Moreover, we connect the generated interface to the motion of interface in one-dimension which is result of Funaki.

研究动机与目标

• 分析带空间平滑噪声的多维随机Allen-Cahn方程中界面的形成时间和形状。
• 将确定性PDE的比较定理推广至具有 $ Q $-布朗运动噪声的随机SPDE。
• 在 $ d \geq 2 $ 维中建立界面生成的精确时间尺度，推广一维结果。
• 在时间尺度 $ O(\varepsilon^{-2\gamma-1}) $ 下，将生成的界面动力学与Funaki [4] 的一维界面运动模型联系起来。

提出的方法

• 采用带Neumann边界条件的随机Allen-Cahn方程的弱解形式。
• 在对 $ Q $-布朗运动的光滑性及在 $ x=y $ 处导数为正的假设下，将确定性PDE理论中的比较原理扩展至随机SPDE。
• 利用满足 $ \Delta m + f(m) = 0 $、$ m(0) = 0 $、$ m(\pm\infty) = \pm 1 $ 且单调的行波解 $ m $ 构造上解和下解 $ w_{\varepsilon}^{\pm} $。
• 引入时间尺度变换以分析界面运动，采用 $ \varepsilon^{-2\gamma-1} $ 作为一维动力学的相关时间尺度。
• 通过光滑逼近和最大值原理，将解 $ u^\varepsilon $ 与构造的上解和下解进行比较。
• 依赖于初始数据 $ u_0^\varepsilon $ 的假设，包括唯一零点 $ \xi_0 $、一致的 $ C^2 $ 有界性，以及在紧支集外 $ u_0^\varepsilon \pm 1 $ 的指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在带空间平滑噪声的多维随机Allen-Cahn方程中，界面在何种时间尺度形成？
• RQ2 在 $ d \geq 2 $ 时，生成的界面形状与位置如何依赖于初始数据和噪声结构？
• RQ3 在平滑空间相关噪声下，能否建立SPDE的比较原理，从而实现界面分析？
• RQ4 界面生成时间与一维情况下 $ \varepsilon^\gamma a(x) \dot{W}_t $ 噪声的界面运动动力学之间有何关联？
• RQ5 研究界面生成后运动的合适时间尺度是什么？它与噪声强度有何关系？

主要发现

• 在空间平滑的 $ Q $-布朗运动噪声下，$ d $-维随机Allen-Cahn方程中界面在 $ O(\varepsilon |\log \varepsilon|) $ 量级的时间形成。
• 在一维情况下，本文对界面形状的描述比先前工作 [7] 更为详细，包括对过渡层的精确估计。
• 在时间 $ t = C_1 \varepsilon |\log \varepsilon| $ 时，解 $ u^\varepsilon $ 满足 $ |u^\varepsilon(t,x) \pm 1| \leq \varepsilon^\kappa \bar{g}_{1,2}(x) $，其中 $ x \gtrsim \pm K $，且 $ \bar{g}_{1,2} \in H^1(\mathbb{R}) $，表明其收敛至稳定状态。
• 在一维情况下，界面运动在时间尺度 $ O(\varepsilon^{-2\gamma-1}) $ 上研究，与Funaki的结果 [4] 一致，且解始终介于由行波解构造的上解与下解之间。
• 在假设 $ \partial_x \partial_y Q(x,y) > 0 $ 且 $ \partial_x^2 \partial_y^2 Q(x,y) > 0 $ 在 $ x=y $ 处成立的条件下，成功将SPDE的比较原理扩展，从而实现严格的界面估计。
• 收敛性 $ P(C_1 \varepsilon |\log \varepsilon| \leq \varepsilon \bar{\tau}_4 \wedge \bar{\tau}_6 \wedge \varepsilon \bar{\tau}_7) \to 1 $ 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时成立，确认界面生成时间是精确且几乎必然的。