[论文解读] Geodesically complete spaces with an upper curvature bound

Alexander Lytchak, Koichi Nagano|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2018

Advanced Topology and Set Theory被引用 7

一句话总结

本文建立了具有上界曲率的测地完备、局部紧致度量空间（GCBA 空间）的基础几何与拓扑性质。证明了拓扑维数与 Hausdorff 维数一致，识别出每个维数中一个稠密开的双Lipschitz正则子集，并表明距离函数几乎处处二次可微，将 Alexandrov 几何中的关键结果推广至上界曲率设定。

ABSTRACT

We study geometric and topological properties of locally compact, geodesically complete spaces with an upper curvature bound. We control the size of singular subsets, discuss homotopical and measure-theoretic stratifications and regularity of the metric structure on a large part.

研究动机与目标

• 发展测地完备、局部紧致、具有上界曲率的度量空间的结构理论，将 Alexandrov 几何中的结果加以推广。
• 解决在缺乏下界曲率时，上界曲率空间中正则性与分层控制的缺失问题。
• 建立此类空间的同伦、测度论与分析分层，类似于 Alexandrov 与黎曼几何中的结果。
• 证明拓扑维数等于 Hausdorff 维数，且正则部分稠密，并与欧氏空间双Lipschitz等价。
• 证明距离函数几乎处处二次可微，利用曲率约束与度量坐标图分析。

提出的方法

• 引入 GCBA 空间类——测地完备、局部紧致、可分且具有上界曲率的度量空间——并研究其局部与全局结构。
• 将 k 维部分 $X^k$ 定义为切空间维数为 k 的点的集合，并证明 $X^k$ 包含一个稠密开的双Lipschitz正则子集 $M^k$。
• 利用测地完备性与曲率约束控制奇点集的大小，表明 $\bar{X}^k \setminus M^k$ 的 Hausdorff 维数至多为 $k-1$。
• 应用 DC 函数理论与度量坐标图构造，分析距离函数的正则性，证明其几乎处处二次可微。
• 借助比较几何与曲率约束，估计小球内角度与度量畸变，导出关键引理中的 $o(r)$ 与 $o(r^2)$ 估计。
• 利用测地完备性在小扰动下的稳定性，以及嵌入欧氏空间的双Lipschitz映射的存在性，建立正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 GCBA 空间的拓扑维数是否与 Hausdorff 维数一致？
• RQ2 能否在每个维数中识别出一个稠密开的正则子集，使其局部双Lipschitz等价于 $\mathbb{R}^k$？
• RQ3 GCBA 空间中 k 维部分内的奇点集的大小与结构如何？
• RQ4 距离函数在 GCBA 空间中是否几乎处处二次可微？何种条件可保证这一点？
• RQ5 曲率约束如何影响度量坐标图的正则性与距离函数的可微性？

主要发现

• GCBA 空间的拓扑维数等于其 Hausdorff 维数，且该维数与同胚于欧氏球的开子集的维数上确界一致。
• 对每个 $k$，$k$ 维部分 $X^k$ 包含一个稠密开子集 $M^k$，其局部双Lipschitz等价于 $\mathbb{R}^k$，且余集 $\bar{X}^k \setminus M^k$ 的 Hausdorff 维数至多为 $k-1$。
• 可选取 $M^k$ 包含所有切空间等距于 $\mathbb{R}^k$ 的点，且集合 $M^k \setminus \mathcal{R}_k$ 的 Hausdorff 维数至多为 $k-2$。
• 流形 $M^k$ 具有唯一的 $\mathrm{DC}$-图册，使得 $M^k$ 上所有凸函数均为 $\mathrm{DC}$-函数。
• 距离函数几乎处处二次可微，且在曲率与度量正则性条件下，其二阶泰勒展开可达到 $o(d(x,y)^2)$。
• 二阶可微性证明依赖于曲率约束，将角度估计从 $o(\sqrt{r})$ 提升至 $o(r)$，从而在度量展开中实现 $o(r^2)$ 估计。