[论文解读] Geometric complexity of embeddings in ℝ d .

Michael Freedman, Vyacheslav Krushkal|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文研究了单纯复形在 ℝ^d 中的分段线性（PL）嵌入的几何复杂度，重点关注厚度、扭曲度和细化复杂度。对于可嵌入 ℝ^{2n} 的 n-复形（n > 2），证明了细化复杂度的上界为 O(e^{N^{4+ε}})，同时构造出厚度和细化复杂度呈指数下界的复形族——与稳定范围内的多项式界形成鲜明对比——揭示了亚稳态范围内存在的根本性复杂度差距。

ABSTRACT

Given a simplicial complex K, we consider several notions of geometric complexity of embeddings of K in a Euclidean space R d : thickness, distortion, and refinement complexity (the minimal number of simplices needed for a PL embed- ding). We show that any n-complex with N simplices which topologically embeds in R 2n , n> 2, can be PL embedded in R 2n with refinement complexity O(e N 4+� ). Families of simplicial n-complexes K are constructed such that any embedding of K into R 2n has an exponential lower bound on thickness and refinement complexity as a function of the number of simplices of K. This contrasts embeddings in the stable range, K ⊂ R 2n+k , k> 0, where all known bounds on geometric complexity functions are polynomial. In addition, we give a geometric argument for a bound on distortion of expander graphs in Euclidean spaces. Several related open problems are discussed, including questions about the growth rate of complexity functions of embeddings, and about the crossing number and the ropelength of classical links.

研究动机与目标

• 分析单纯复形在 ℝ^d 中的 PL 嵌入的几何复杂度，特别关注亚稳态范围（d = 2n，n > 2）。
• 为这类嵌入的细化复杂度、厚度和扭曲度建立上下界。
• 对比亚稳态范围（d = 2n）与已知多项式界存在的稳定范围（d = 2n + k，k > 0）中的复杂度增长行为。
• 为欧氏空间中膨胀图的扭曲度提供几何论证。
• 识别关于复杂度增长率、交叉数和经典链环绳结长度的开放问题。

提出的方法

• 分析 n 维单纯复形 K 的 PL 嵌入，其包含 N 个单纯形，嵌入 ℝ^{2n}（n > 2）。
• 使用组合与拓扑技术，推导出在拓扑嵌入 ℝ^{2n} 的复形中，细化复杂度的上界为 O(e^{N^{4+ε}})。
• 构造显式的 n-复形族，证明厚度和细化复杂度作为 N 的函数存在指数下界。
• 应用几何推理，对欧氏空间中膨胀图的扭曲度进行上界估计。
• 比较亚稳态范围（d = 2n）与稳定范围（d = 2n + k）中复杂度的行为，后者已知的界为多项式。
• 识别与复杂度增长率、交叉数和经典链环绳结长度相关的开放问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℝ^{2n} 中拓扑嵌入的单纯 n-复形，其最大可能的细化复杂度是多少？
• RQ2 在亚稳态范围内，n-复形的厚度和细化复杂度相较于稳定范围如何增长？
• RQ3 能否使用几何论证来界定欧氏空间中膨胀图的扭曲度？
• RQ4 在 ℝ^d 中嵌入的几何复杂度函数的渐近增长速率是什么？
• RQ5 在经典链环嵌入中，细化复杂度、交叉数与绳结长度之间存在何种关系？

主要发现

• 对于任意 n-复形 K，若其包含 N 个单纯形且在 ℝ^{2n} 中拓扑嵌入（n > 2），则存在一个 PL 嵌入，其细化复杂度被 O(e^{N^{4+ε}}) 所界定。
• 存在 n-复形族，使得其在 ℝ^{2n} 中的任意嵌入均表现出厚度和细化复杂度随 N 指数增长。
• 亚稳态范围内的指数下界与稳定范围（d = 2n + k，k > 0）中已知的多项式界形成鲜明对比。
• 本文提供了几何论证，从而得出欧氏空间中膨胀图扭曲度的上界。
• 本文识别出关于复杂度函数增长率、交叉数和经典链环绳结长度的开放问题。