[论文解读] Geometric Complexity Theory VI: the flip via saturated and positive integer programming in representation theory and algebraic geometry

Ketan Mulmuley|ArXiv.org|Apr 2, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 47被引用 42

一句话总结

本文通过在表示理论和代数几何中对结构常数的饱和性与正性假设，将P vs. NP问题的下界问题转化为正整数规划问题，提出了一种几何复杂性理论方法。若这些正性与饱和性猜想成立（受Kazhdan-Lusztig理论与典范基理论启发），则可多项式时间判定plethysm系数与Littlewood-Richardson系数的非零性，从而将特征零下的P≠NP与有限域上的黎曼假设联系起来。

ABSTRACT

This article belongs to a series on geometric complexity theory (GCT), an approach to the P vs. NP and related problems through algebraic geometry and representation theory. The basic principle behind this approach is called the flip. In essence, it reduces the negative hypothesis in complexity theory (the lower bound problems), such as the P vs. NP problem in characteristic zero, to the positive hypothesis in complexity theory (the upper bound problems): specifically, to showing that the problems of deciding nonvanishing of the fundamental structural constants in representation theory and algebraic geometry, such as the well known plethysm constants--or rather certain relaxed forms of these decision probelms--belong to the complexity class P. In this article, we suggest a plan for implementing the flip, i.e., for showing that these relaxed decision problems belong to P. This is based on the reduction of the preceding complexity-theoretic positive hypotheses to mathematical positivity hypotheses: specifically, to showing that there exist positive formulae--i.e. formulae with nonnegative coefficients--for the structural constants under consideration and certain functions associated with them. These turn out be intimately related to the similar positivity properties of the Kazhdan-Lusztig polynomials and the multiplicative structural constants of the canonical (global crystal) bases in the theory of Drinfeld-Jimbo quantum groups. The known proofs of these positivity properties depend on the Riemann hypothesis over finite fields and the related results. Thus the reduction here, in conjunction with the flip, in essence, says that the validity of the P vs. NP conjecture in characteristic zero is intimately linked to the Riemann hypothesis over finite fields and related problems.

研究动机与目标

• 通过‘翻转’原理将下界问题转化为上界问题，建立在特征零下证明P≠NP的框架。
• 提出并支持表示理论中plethysm及其他结构常数的饱和性与正性假设。
• 证明判定这些常数非零性的问题可归约为可多项式时间求解的饱和正整数规划问题。
• 将P≠NP的有效性与深层数论猜想（特别是有限域上的黎曼假设）联系起来。
• 提出基于非标准量子群与典范基的程序，以证明所需的正性猜想。

提出的方法

• 引入饱和与正整数规划的一般范式，证明其具有多项式时间算法。
• 证明结构常数（如plethysm）的伸缩函数为拟多项式，推广了对Littlewood-Richardson系数的已知结果。
• 为plethysm与子群限制问题提出正性与饱和性假设，扩展了对Littlewood-Richardson系数已知性质的适用范围。
• 利用Kazhdan-Lusztig多项式与Drinfeld-Jimbo量子群典范基的已知正性结果，为猜想提供动机。
• 构造具有猜想正性性质的非标准量子群及其相关代数，其性质类比于典范基的正性。
• 利用分离 oracle 与锥体（如Littlewood-Richardson锥体）的结构定理，在存在指数级约束的情况下仍实现高效算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正性与饱和性假设下，plethysm常数的非零性是否可多项式时间判定？
• RQ2 plethysm常数的伸缩函数是否为拟多项式，从而推广已知的Littlewood-Richardson系数多项式性？
• RQ3 特征零下P≠NP的有效性是否可归约为表示理论中正性猜想的真伪？
• RQ4 典范基与Kazhdan-Lusztig多项式的正性性质在多大程度上能推导出复杂性理论中可判定性所需的结构性质？
• RQ5 非标准量子群及其典范基能否为证明所需正性假设提供构造性路径？

主要发现

• plethysm常数的伸缩函数为拟多项式，证明了该情形下Kirillov的猜想。
• 结构常数非零性的判定问题可归约为可多项式时间求解的饱和正整数规划问题，该结论在所提假设下成立。
• 特征零下P≠NP猜想的有效性与有限域上的黎曼假设通过结构常数的正性深度关联。
• 本文为控制plethysm与子群限制问题的饱和性与正性假设提供了理论与实验支持。
• 提出了一套新的非标准量子群与代数框架，其猜想正性性质或可作为证明所需数学猜想的路径。
• 该方法在相同正性与饱和性假设下，将已知的Littlewood-Richardson非零性多项式时间可解性推广至更广泛的结构常数类别。