[论文解读] Geometric Considerations of a Good Dictionary for Koopman Analysis of Dynamical Systems

Erik M. Bollt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 18被引用 2

一句话总结

本文提出了一种几何框架，通过在余维一的横截集上以初始数据定义特征函数，利用特征线法并引入‘主特征函数’作为具有匹配等值集的等价类，以解决谱多重性问题，从而在库普曼算子分析中构建最优字典。该方法揭示了特征函数之间的几何关系，并阐明了点谱与连续谱之间以及特征函数定义域之间的联系。

ABSTRACT

Representation of a dynamical system in terms of simplifying modes is a central premise of reduced order modelling and a primary concern of the increasingly popular DMD (dynamic mode decomposition) empirical interpretation of Koopman operator analysis of complex systems. In the spirit of optimal approximation and reduced order modelling the goal of DMD methods and variants are to describe the dynamical evolution as a linear evolution in an appropriately transformed lower rank space, as best as possible. However, as far as we know there has not been an in depth study regarding the underlying geometry as related to an efficient representation. To this end we present that a good dictionary, that quite different from other's constructions, we need only to construct optimal initial data functions on a transverse co-dimension one set. Then the eigenfunctions on a subdomain follows the method of characteristics. The underlying geometry of Koopman eigenfunctions involves an extreme multiplicity whereby infinitely many eigenfunctions correspond to each eigenvalue that we resolved by our new concept as a quotient set of functions, in terms of matched level sets. We call this equivalence class of functions a ``primary eigenfunction to further help us to resolve the relationship between the large number of eigenfunctions in perhaps an otherwise low dimensional phase space. This construction allows us to understand the geometric relationships between the numerous eigenfunctions in a useful way. Aspects are discussed how the underlying spectral decomposition as the point spectrum and continuous spectrum fundamentally relate to the domain of the eigenfunctions functions.

研究动机与目标

• 解决库普曼算子分析中字典构建缺乏几何理解的问题。
• 解决降阶建模中每个特征值存在无限重特征函数的问题。
• 提出一种系统化方法，从余维一横截流形上的初始数据构造特征函数。
• 阐明特征函数与谱分解（包括点谱和连续谱）之间的几何关系。
• 引入‘主特征函数’的概念，作为具有匹配等值集的函数等价类，以简化复杂特征函数结构的表示。

提出的方法

• 在相空间的余维一横截子集上构造初始数据函数，以生成特征函数。
• 应用特征线法将这些初始函数传播至整个定义域，从而在子域上得到特征函数。
• 基于匹配的等值集定义特征函数的等价类，形成‘主特征函数’，以解决每个特征值的无限重特征函数问题。
• 利用在共享等值集关系下的函数商集来表示主特征函数的结构。
• 分析特征函数的定义域与库普曼算子点谱和连续谱之间的关系。
• 通过这种基于商集的框架，建立谱分解与特征函数空间支撑之间的几何联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一种几何启发的字典以改进库普曼算子分析的降阶建模？
• RQ2 余维一横截流形在定义特征函数构造的初始数据中起什么作用？
• RQ3 在几何框架下，如何系统性地解决每个特征值下特征函数的无限重特征函数问题？
• RQ4 特征函数的定义域与库普曼算子的点谱/连续谱之间存在何种关系？
• RQ5 等值集匹配与函数的商集如何导致特征函数族的最小化表示？

主要发现

• 特征线法能够从余维一横截集上的初始数据构造特征函数，从而提供一种具有几何依据的字典。
• 通过引入基于匹配等值集的等价类，解决了每个特征值下特征函数的无限重特征函数问题，形成了‘主特征函数’的概念。
• 主特征函数框架使得在低维相空间中，特征函数族能够以最小且具有几何意义的方式表示。
• 特征函数的定义域与谱分解密切相关，点谱与连续谱分别对应于不同的几何与函数性质。
• 商集构造提供了一种严谨的分类方式，同时保持了特征函数的动力学与几何关系。
• 该方法揭示了即使在低维系统中，等值集的几何结构也决定了特征函数之间的函数关系。